一本《概率统计》练习一 一、单项选择题 1 、设 ) , ( ~ ), , ( ~22 221 1 N Y N X ，且 Y X, 相互独立，则（
）. (A) ) , ( ~2221 2 1 N XY
(B) ) , ( ~2221 2 1 N Y X
(C) ) , ( ~2221 2 1 N Y X
(D) ) / , / ( ~ /2221 2 1 N Y X
2 、下列函数中可作为随机变量分布函数是（
）. (A) 0 , ) 1 (0 , 0) (1 2x xxx F
(B) 1 , ) 1 (1 , 1) (1 2x xxx F
(C) 0 , 00 ,) (xx ex Fx
(D) 1 ), 1 ln(0 , 1) (2x xxx F
3 、设15 2 1, , , X X X 是来自总体 ) 1 , 0 ( ~ N X 为 的一个容量为 15 的简单随机样本，记) ( 22152122112102221X X XX X XY ，则（
）. (A) ) 5 , 10 ( ~ F Y
(B) ) 10 , 5 ( ~ F Y
(C) ) 15 ( ~2 Y
(D) ) 15 ( ~ t Y
4 、设 A, B 是两个随机事件，且 ), | ( ) | ( , 0 ) ( , 1 ) ( 0 A B P A B P B P A P
则必有（
）
）. (A) ) | ( ) | ( B A P B A P
(B) ) | ( ) | ( B A P B A P
(C) ) ( ) ( ) ( B P A P AB P
(D) ) ( ) ( ) ( B P A P AB P
5 、设 ) 9 , 108 ( ~ N X ，则 } 6 . 117 1 . 101 { X P （ （
）. (A) 1 ) 2 . 3 ( 2
(B) 1 ) 3 . 2 ( 2
(C) ) 3 . 2 ( ) 2 . 3 ( 2
(D) 1 ) 3 . 2 ( ) 2 . 3 (
二、填空题 6 、已知 , 50 . 4 ) 5 , 30 (05 . 0 F 则 ) 30 , 5 (95 . 0F （ （
）.
7 、设 0 ) ( , 0 ) ( B P A P ，则 ) ( ), ( ), ( B A P AB P A P 和 ) ( ) ( B P A P 四个数中最大的是（ ) ( ) ( B P A P
），最小的是（
）. 8 、设 Y X, 相互独立, 且均服从 ) , 0 ( 上的均匀分布, 则 则 )] , [min( Y X E = （
）. 9 、设随机变量 Y X, 相互独立，且 , 6 . 0 } 1 { X P , 4 . 0 } 0 { X P
, 5 . 0 } 1 { Y P , 5 . 0 } 0 { Y P 则 } 1 { Y X P （ （
）
10 、对某一目标进行射击，直到击中为止。如果每次击中的概率均为 p ，则射击次数 X 的概率分布为（
）. 三、解答题 11 、设二维随机变量 ) , ( Y X 的概率密度为
) , ( y x f 其它 , 04 , 2 ), 6 ( y x y x k
(1) 确定常数 k ； ；
(2) 求边缘密度函数 ) ( ) ( y f x fY X和 ； ；
(3) 判断 X 与 Y 是否相互独立，并证明你 的结论； (4) 求 求 } 5 0 , 5 . 1 { Y X P 。
。
解 解: (1)
(2)
(3)
(4)
12为 、两台车床加工同样的零件，第一台出次品的概率为 0.02 ，第二台出废品的概为 率为 0.03 。加工出来的零件放在一起，已知第二台加工的零件数是第一台的 3 倍。求 求: (1) 从加工出来的零件中任取一件，是合格品的概率； (2) 若任取一件是次品，求它是由第一台车床加工的概率。
解 解: 设事件iA 表示“ 零件由第 i 台 车床加工”, 2 , 1 i , 事件 B 表示“ 任取一个零件是次品” 。依题意有 03 . 0 ) | ( , 02 . 0 ) | ( ,43) ( ,41) (2 1 2 1 A B P A B P A P A P 。
(1)
(2)
13 、设总体 X 的概率密度为0 , 00 ,) (2xx xex fx ，其中 0 是未知参数。nX X X , , ,2 1 是来自总体的一个简单随机样本，求参数 的极大似然估计。
解：
14查 、从某厂生产的滚珠中随机抽查 9 这 个，测得这 9 个滚珠直径的平均值为mm x 9 . 14 。若滚珠直径服从正态分布，且已知标准差为 mm 15 . 0 。求该厂生产为 的滚珠直径均值的置信水平为 0.95 的置信区间。
附 ：
306 . 2 ) 8 ( , 833 . 1 ) 9 ( , 96 . 1 , 645 . 1025 . 0 05 . 0 025 . 0 05 . 0 t t u u
解 解:
15为 、食品加工厂用自动装罐机装食品罐头，规定标准重量为 500 克。现随机抽取25 罐，测得其平均重量为 502 克，样本标准差为 8 克。
假定罐头重量服从正态分布，问机器工作是否正常？ ) 05 . 0 (
附：
71 . 1 ) 24 ( , 06 . 2 ) 24 ( , 65 . 37 ) 25 ( , 42 . 36 ) 24 (05 . 0 025 . 0205 . 0205 . 0 t t
解 解:
一本《概率统计》练习二 一、单项选择题 1 1 、 设 , , A B C 为随机事件，下列命题中正确的是（
）
.
(A) ABC ABC ABC 表示 , , A B C 至少两个发生
(B)
, A B 相互独立，则 , A B 必互不相容
(C) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B
(D)
( ) ( ) ( ) ( ) P A B P AB P A P AB
2 2 、已知 ( ) 0.4 P A ， ( ) 0.7 P A B ，当 , A B 互不相容时，设 ( ) P B p ；当 , A B相互独立时，设 ( ) P B q ，则 （
）. .
(A) 0.3 p q
(B)
0.5 p q
(C) 0.3, 0.5 p q
(D) 0.3, 0.6 p q
3 3 、已知2~ (3, ) X N ， {3 6} 0.34 P X ，则 { 0} P X （
）. .
(A) 0.16
(B)
0.34
(C) 0.56
(D)
0.28
4 4 、 设1 2( , , , )nX X X 是来自正态总体（2( , ) X N ）
的样本，下列各式不正确的是（
）. .
( ) A2( , ) X N n
( ) B221( )niiXn
( ) C
222( 1)( 1)n Sn
( ) D (0,1)XN
5 5 、 在如下关于常用分布的数学期望或方差的结论中，正确的是（
）. .
(A) ~ ( , ), X B n p
则 ; DX np
(B) ~ ( ), X P 则2, ; EX DX
(C) ~ ( , ) X U a b ，则2( )12b aDX
(D) ~ ( ) X e ，则1. EX DX
二、填空题 6 6 、 已知 3, 4, EX DX 则 ( 1)(2 1) E X X
. .
7 7 、设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 ~ (2,3), ~ ( 3,4) X N Y N ，则
2 4~ Z X Y
. .
8 8 、已知 F 分布的上侧分位数0.051(10,5) ,3F 则0.95 (5,10)F
. .
9 9 、 设总体 X 的数学期望和方差皆存在，对于其简单随机样本，比较 两个 无偏估计量1 2 3124X X X 和1 2 323X X X ，则
较
有效。
10 、设某微生物存活能到 0 30 小时的概率是 0.8 ，能到 0 50 小时的概率是 0.6 ，已知该微生物已存活至 0 30 小时，则还能到 0 50 小时的概率为
. .
三、解答题 11 、一袋中装有 7 7 枚正品硬币和 3 3 枚次品硬币（次品硬币的两面都是国徽图案 ）。从袋中任取一枚硬币，并将它投掷 3 3 次。
（1 1 ）求所掷三次皆为国徽图案的概率；
（2 2 ）若已知三次皆掷出国徽图案，求所取出的这枚硬币是正品的概率。
解：设1B 表示所取硬币为正品，2B 表示所取硬币为次品，A A 表示所掷三次皆为国徽图案。
12 、（1 1 ）甲、乙二人独立地各进行两次射击，设甲的命中率为12，乙的命中率为23，以 X Y 和 分别表示甲和乙的命中次数，求 X Y 和 ； 的联合分布率；
（2 2 ）设二维随机变量 ) , ( Y X 的概率密度为
) , ( y x f4.8(2 ) , 1, 00,x y x y x 其它
求边缘概率密度 ( )Xf x 。
13 、已知随机变量 X 的分布函数是21, 1( )1, 12xF xxx ，
（1 1 ）计算概率 { 3 2} P X ， {2 3} P X 和 { 1} P X ；
（2 2 ）回答 X 是否为连续型随机变量，并说明理由。
解：（1 1 ）
（2 2 ）
14 、设总体 X 的分布率为
0 1 2~1 1 13 3 3X ， 其中 ( 1 1) 是未知参数。若已知来自总体 X 的样本观察值为 2,0,0, 2,1,1, 2,
求
（1 1 ）参数 的矩估计值；
（2 2 ）参数 的极大似然估计值。
解：（1 1 ）
（2 2 ）
15 、从自动线上被分装成小袋包装的某种产品，其重量2( , ) X N ，现从一批产品 抽取 9 9 包，测得这 9 9 包重量的平均值为 15.06 x g ，
（1 1 ）若已知20.04 ，求该产品重量均值 的置信度为 5 0.95 的置信区间；
（2 2 ）若2 未知，而求得样本标准差 0.23 s g ，试检验：可否认为这批产品的重量均值 15.00g ？ ) 05 . 0 (
附：0.05 0.025 0.05 0.025 0.0251.645, 1.96, (9) 1.833, (9) 2.262, (8) 2.306 u u t t t
2 2 20.05 0.05 0.95(9) 16.92, (8) 15.51, (8) 3.33.
一本《概率统计》练习三答案第 7 页（共 4 页）
一本《概率统计》练习三 一、单项选择题 1、 、 设 , , A B C 为随机事件， 则与 ) ( B A P 相等的关系式是（
）.
(A) ) ( ) ( ) ( AB P B P A P ； ；
(B) ) ( ) ( B P A P ； ； (C) ) ( ) ( AB P A P ； ；
(D) ) ( ) ( ) ( ) ( B A P B P B P A P 。
。
2、 、 设 , , A B C 为 随机事件
41) ( ) ( ) ( C P B P A P ，81) ( AB P ， 0 ) ( ) ( AC P BC P ，
则 , , A B C 三个随机事件中至少有一个发生的概率是 （
）
）. . (A)43； ；
(B)85； ；
(C) 83； ；
(D) 81。
。
3 、已知随机变量 X 的分布密度为
, 01 0
,) (其他x b axx f
且85)21( X P ，则 b a, 的值为
（
）. (A) 0 , 1 b a ； ；
(B)21, 2 b a ； ；
(C)21, 1 b a ； ；
(D) 1 b a 。
。
4、 、 设随机变量 X 的取值范围是 1
, 1 ，以下可以作为 X 是 的分布密度的是 （
）
）. .
(A)
其它
01 x 1
21；
(B)
其它
01 x 1
2；
(C)
其它
01 x 1 x
；
(D)
其它
01 x 1
x2。
。
5、 、 若 ) ( ~ n t X ，那么 ~2X （
）
.
(A) ) , 1 ( n F ； ；
(B) ) 1 , (n F ； ；
(C) ) (2n ；
(D) ) (n t .
二、填空题 6 6 、将 S C, C, E, E, I, N, S 等七个字母随机地排成一行, , 那么, , 恰好排成英文单词 词 E SCIENCE 的概率为
. .
7 7、 、 设随机变量 ) , 2 ( ~2 N X ，且 3 . 0 4 2 X P ，则 0 X P = =
. .
8、 、 已知 5 . 0 ) ( , 5 . 0 ) ( , 8 . 0 ) ( B P B A P A P , 则 ) ( B A P
. .
一本《概率统计》练习三答案第 8 页（共 4 页）
9、 、 若总体 ) 2 , 0 ( ~2N X , 10 2 1, , , X X X 为来自总体样本容量为 0 10 的简单随机样本 , 则101241iiX Y 服从于_ __ _ х2 2 _ __ _ 分布 , 其分布参数为
. . 10、 、 若总体 ) , ( ~2 N X ，且2 未知，用样本检验假设0H ：0 时，采用统计量是
. . 三、解答题
11、 、 从一批有 0 10 个合格品与 3 3 个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在下列 二种情况下，直到取出合格品为止，所抽取次数 X 的分布率。（1 1 ）放回
（2 2 ）不放回
解
（1 1 ）
（2 2 ）
12、 、 设商场出售的某元件是由甲、乙、丙厂生产的，产品的比例为 1 ：
2 ：
1 ，且它们的产品合格率分别为 9 0. 、 85 0. 、 8 0. ，现从该商场买了一个元件
(1) 问恰取到一件合格品的概率是多少？
(2) 若已知取到一件合格品，求其是丙厂生产的概率。
解
（1 1 ）
(2)
13. 设随机变量 X 的 分布密度 为
, 00
,2cos21) (其他 xxx f
(1) 求 X 的分布函数。
(2) ) 求 )21 ( X P
(3) 求 X Y 5 . 0 的分布密度。
解
(1)
一本《概率统计》练习三答案第 9 页（共 4 页）
(2)
(3)
14 、 设 ) , ( Y X 的联合分布密度为 x y x x Ay y x f 0 , 1 0 ), 1 ( ) , ( ，
（1 1 ）求系数 A A ，
（2 2 ）求关于 X 及 Y 的边缘分布密度。
（3 3 ）
X 与 Y 是否相互独立？
（4 4 ）
E XY 及 ( ) D XY .. 解 解 （1 1 ）
（2 2 ）
（ （3 ）
15、 、 随机从一批灯泡中抽查 1 16 6 个灯泡，测得其使用时数的平均值为 X 0 =1500 小时，样本方差2 220 S 小时 , 设灯泡使用时数服从正态分布。试求均值 的置信度为 为 95% 的置信区间。
(
附数据：0.025 (16)2.1199 t ；
0.025 (15)2.1315 t
）
解 解
16 、 (1)设 设1 2, , ,nX X X 为总体 X 的一个样本, , 母体 X 的分布密度为
其它
, 01 0
,) (1x xx f， 0
试求 的矩估计和极大似然估计( ( 其 他专业做) ) 。
(2) 设总体 X 的分布律为
2 1 ) 1 ( 23 2 1 0~2 2X
其中 5 . 0 0 是未知参数，若总体 X 有样本观测值：3 3 ，1 1 ，3 3 ，0 0 ，3 3 ，1 1 ，2 2 ，3 3 ，
一本《概率统计》练习三答案第 10 页（共 4 页）
求参数 的矩估计与极大似然估计( ( 会计学、国贸、公共管理专业做) ) 。
解 解
(1)
(2)
一本《概率统计》练习四答案第 11 页（共 4 页）
一本《概率统计》练习四 一、填空题
1、 、 设 , , A B C 为三个随机事件， 则下列选项中不可以用来表示事件“ , , A B C 中至少有一个出现 ”的是（
）
(A) A B C ； ；
(B) ABC ； ； (C) ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ； ；
(D) ABC 。
。
2、 、 下列各式正确的是 （
）
）
(A) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B ； ；
(B) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B ； ；
(C) ( ) ( ) ( ) P AB P A P B ； ；
(D) ( )( )( )P AAPB P B 。
。
3 、下列函数中，可以作为随机变量的分布函数的是 （
）
(A) , 0( )0, 0xe xF xx ； ；
(B)1 1( ) arctan2F x x ； ；
(C)1 sgn( )( )2xF x ； ；
(D)21, 1( )1, 11xF xxx 。
。
4、 、 已知 X 服从 [2,4] 上的 均匀分布，则 {3 2 11.6} P X （
）
(A)
0 ；
(B)
1 ；
(C)
0.8 ；
(D)
0.6 。
5、 、 设总体 X 服从正态分布2( , ) N ，1 2, ,nX X X 是 X 的一个样本，样本均值11niiX Xn，样本方差2 211( )1niiS X Xn , ,
则服从 ( 1) t n 的是（
）
(A)21niiX ； ；
(B) Xn； ；
(C) 21niiX X ；
(D) XS n 。
二、填空题 6 6 、设 ( , ) X Y 在区域2 22 2{( , ) 1}x yD x ya b 上服从均匀分布，则其分布密度函数为1,( , )( , )0,x y Df x y ab 其它
7 7 、 设随机变量 ~ (2, 3) X N ， ~ (3,0.4) Y B ，X X 、Y Y 相互独立，则
一本《概率统计》练习四答案第 12 页（共 4 页）
X+2Y E （- ）
= =
， D(2X-3Y-1) = =
8、 、3 3 1( ) , ( ) , ( )3 7 4P A P B A P B 已知，则 ( ) P B A
9 、已知 2 EX ， 1 DX ， 2 EY ， 4 DY ， 0.5XY ， ， 则 { 6} P X Y
10、 、 若 ) ( ~ n t X ，那么 ~2X
。
。
三、解答题 11、 、 设甲袋中有三个红球及一个白球，乙袋中有四个红球及两个白球，从甲袋中任取一个球，不看颜色，放入乙袋中后，再从乙袋中任取一个球
（1 1 ）求从乙袋中取到红球的概率：
（2 2 ）若已知从乙袋中取到的是红球，求开始从甲袋中拿出的也是红球的概率。
解：设 A A 表示从甲袋中拿到红球，B B 表示从乙袋中拿到红球
（1 1）
）
(2)
12、 、 甲、乙二人独立地各进行两次射击，设甲的命中率为12，乙
的命中率为23，以 X Y 和 分别表示甲和乙的命中次数。
(1)求 求 ( , ) X Y 的分布律；
(2)求 求 ( ) E XY 。
。
解：（1 ）
(2)
13 、设随机变量 ( , ) X Y 的分布密度为2 ,01,0 1( , )0,cxy x yf x y 其它地方，
求（1 1 ）参数 c ；
（2 2 ）
{ 1} P X Y ;
(3)
DX
(4)
X 与 Y 是否相互独立，为什么？
解：（1 1 ）
（2 2）
）
一本《概率统计》练习四答案第 13 页（共 4 页）
（3 3）
）
（4 4 ）
14 、设总体 X 服从均匀分布 ( , ) U a b , , a 已知，求 b 的矩估计和极大似然估计量。
解：（1 1 ）
(2)
15 、某车间生产滚珠，已知直径2~ ( , ) X N 且标准差为 5 0.15 毫米，现从某天生产的产品中随机抽取 9 9 ， 个，
经测试，已经算得这 9 9 个滚珠直径的均值为 14.9 x （毫米），求直径均值的置信水平为 5 0.95 的置信区间。
附表：标准正态分布函数 ( ) x 取值表
x
1.28
1.645
1.96
2.33
( ) x
0.900
0.950
0.975
0.990
解
16 、某工厂采用新的方法处理废水，测量其中所含某种有毒物质的浓度，得到 10个数据（单位：毫克/ 升）：22, 14, 17, 13, 21, 16, 15, 16, 19, 18 ，而以往用老办为 法处理后，该种有毒物质的平均浓度为 19 ，问新处理方法是否比老处理方法效果好？（设该种有毒物质的浓度服从正态分布，取显著性水平 0.05 ）。
附：96 . 1 645 . 1228 . 2 ) 10 ( 262 . 2 ) 9 ( 812 . 1 ) 10 ( 833 . 1 ) 9 (025 . 0 05 . 0025 . 0 025 . 0 05 . 0 05 . 0 u ut t t t 解：