一、随机事件和概率 1、随机事件及其概率 运算律名称 表达式 交换律 A B B A
BA AB
结合律 C B A C B A C B A ) ( ) (
ABC BC A C AB ) ( ) (
分配律 AC AB C B A ) (
) )( ( ) ( C A B A BC A
德摩根律 B A B A
B A AB
2、概率的定义及其计算 公式名称 公式表达式 求逆公式 ) ( 1 ) ( A P A P
加法公式 ) ( ) ( ) ( ) ( AB P B P A P B A P
条件概率公式 ) () () (A PAB PA B P
乘法公式 ) ( ) ( ) ( A B P A P AB P
) ( ) ( ) ( B A P B P AB P
全概率公式 nii iA B P A P B P1) ( ) ( ) (
贝叶斯公式 （逆概率公式）
1) ( ) () ( ) () (ii jj jjA B P A PA B P A PB A P
伯努力概型公式 n k p p C k Pk n k kn n , 1 , 0 , ) 1 ( ) ( 两件事件相互独立相应公式 ) ( ) ( ) ( B P A P AB P ； ) ( ) ( B P A B P ； ) ( ) ( A B P A B P ； 1 ) ( ) ( A B P A B P ；1 ) ( ) ( A B P A B P
二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 ) ( ) ( b F b X P
) ( ) ( ) ( a F b F b X a P
2、散型随机变量 分布名称 分布律 0–1 分布 ) , 1 ( p B
1 , 0 , ) 1 ( ) (1 k p p k X Pk k 二项分布 ) , ( p n B
n k p p C k X Pk n k kn, , 1 , 0 , ) 1 ( ) ( 泊松分布 ) ( P
, 2 , 1 , 0 ,!) ( kke k X Pk 几何分布 ) (p G
, 2 , 1 , 0 , ) 1 ( ) (1 k p p k X Pk
超几何分布 ) , , ( n M N H
) , min( , , 1 , , ) ( M n l l kCC Ck X PnNk nM NkM 3、续型随机变量 分布名称 密度函数 分布函数 均匀分布 ) , ( b a U
其他 , 0,1) (b x aa bx f
b xb x aa ba xa xx F, 1,, 0) (
指数分布 ) ( E
其他 , 00 ,) (x ex fx 0 , 10 , 0) (x exx Fx 正态分布 ) , (2 N
x e x fx222) (21) ( xtt e x F d21) (222) ( 标准正态分布 ) 1 , 0 ( N
x e xx2221) (
xtt e x F d21) (222) ( 三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量边缘分布 j jij j i i ip y Y x X P x X P p ) , ( ) (
i iij j i j jp y Y x X P y Y P p ) , ( ) (
2、离散型二维随机变量条件分布 2 , 1 ,) () , () ( iPpy Y Py Y x X Py Y x X P pjijjj ij i j i 2 , 1 ,) () , () ( jPpx X Py Y x X Px X y Y P piijij ii j i j 3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数 x ydvdu v u f y x F ) , ( ) , (
4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数： xXdvdu v u f x F ) , ( ) (
密度函数： dv v x f x f X ) , ( ) (
yYdudv v u f y F ) , ( ) (
du y u f y f Y ) , ( ) (
5、二维随机变量的条件分布 yx fy x fx y fXX Y,) () , () (
xy fy x fy x fYY X,) () , () (
四、随机变量的数字特征 1、数学期望 离散型随机变量：1) (kk k px X E
连续型随机变量： dx x xf X E ) ( ) (
2、数学期望的性质 (1) 为常数 C , ) ( C C E
) ( )] ( [ X E X E E
) ( ) ( X CE CX E
(2) ) ( ) ( ) ( Y E X E Y X E
b X aE b aX E ) ( ) (
) ( ) ( ) (1 1 1 1 n n n nX E C X E C X C X C E
(3)若 XY 相互独立则：
) ( ) ( ) ( Y E X E XY E
(4) ) ( ) ( )] ( [2 2 2Y E X E XY E
3、方差：
) ( ) ( ) (2 2X E X E X D
4、方差的性质 (1) 0 ) ( C D
0 )] ( [ X D D
) ( ) (2X D a b aX D
2) ( ) ( C X E X D
(2) ) , ( 2 ) ( ) ( ) ( Y X Cov Y D X D Y X D
若 XY 相互独立则：
) ( ) ( ) ( Y D X D Y X D
5、协方差：
) ( ) ( ) , ( ) , ( Y E X E Y X E Y X Cov
若 XY 相互独立则：
0 ) , ( Y X Cov
6、相关系数：) ( ) () , () , (Y D X DY X CovY XXY
若 XY 相互独立则：
0 XY 即 XY 不相关 7、协方差和相关系数的性质 (1) ) ( ) , ( X D X X Cov
) , ( ) , ( X Y C o v Y X C o v
(2) ) , ( ) , ( ) , (2 1 2 1Y X Cov Y X Cov Y X X Cov
) , ( ) , ( Y X a b C o v d bY c aX Cov
8、常见数学分布的期望和方差 分布 数学期望 方差 0-1 分布 ) , 1 ( p B
p
) 1 ( p p
二行分布 ) , ( p n B
np
) 1 ( p np
泊松分布 ) ( P
几何分布 ) (p G
p1 21pp 超几何分布 ) , , ( n M N H
NMn
1) 1 (Nm NNMNMn
均匀分布 ) , ( b a U
2b a 12) (2a b 正态分布 ) , (2 N
2
指数分布 ) ( E
1 21 五、大数定律和中心极限定理 1、切比雪夫不等式 若 , ) ( , ) (2 X D X E 对于任意 0 有2) (} ) ( {X DX E X P 或2) (1 } ) ( {X DX E X P
2、大数定律：若nX X 1相互独立且 n 时， niiDniiX EnXn1 1) (1 1
(1)若nX X 1相互独立，2) ( , ) (i i i iX D X E 且 Mi2 则： niiPniin X EnXn1 1) ( ), (1 1 (2)若nX X 1相互独立同分布，且i iX E ) ( 则当 n 时：
PniiXn11 3、中心极限定理 (1)独立同分布的中心极限定理：均值为 ，方差为 02 的独立同分布时，当 n 充分大时有：
) 1 , 0 (~1Nnn XYnkkn (2)拉普拉斯定理：随机变量 ) , ( ~ ) 2 , 1 ( p n B nn 则对任意 x 有：
xtnxx dt e xp npnpP ) (21}) 1 ({ lim22 (3)近似计算：
) ( ) ( ) ( ) (11nn ann bnn bnn Xnn aP b X a Pnkknkk 六、数理统计 1、总体和样本 总体 X 的分布函数 ) (x F 样本 ) , (2 1 nX X X 的联合分布为 ) ( ) , (12 1 knknx F x x x F
2、统计量 (1)样本平均值：niiXnX11
(2)样本方差： niiniiX n XnX XnS12212 2) (11) (11 (3)样本标准差：niiX XnS12) (11
(4)样本 k 阶原点距：
2 , 1 ,11 k XnAniki k (5)样本 k 阶中心距： niki k kk X XnM B13 , 2 , ) (1
(6)次序统计量：设样本 ) , (2 1 nX X X 的观察值 ) , (2 1 nx x x ，将nx x x 2 1 ,按照由小到大的次序重新排列，得到) ( ) 2 ( ) 1 ( nx x x ，记取值为) (ix 的样本分量为) (iX ，则称) ( ) 2 ( ) 1 ( nX X X 为样本 ) , (2 1 nX X X 的次序统计量。
) , min(2 1 ) 1 ( nX X X X 为最小次序统计量； ) , max(2 1 ) ( n nX X X X 为最大次序统计量。
3、三大抽样分布 (1)2 分布：设随机变量nX X X 2 1 ,相互独立，且都服从标准正态分布 ) 1 , 0 ( N ，则随机变量2 22212nX X X 所服从的分布称为自由度为 n 的2 分布，记为 ) ( ~2 2n
性质：① n n D n n E 2 )] ( [ , )] ( [2 2 ②设 ) ( ~ ), ( ~2 2n Y m X 且相互独立，则 ) ( ~2n m Y X
(2) t 分布：设随机变量 ) ( ~ ), 1 , 0 ( ~2n Y N X ，且 X 与 Y 独立，则随机变量：n YXT 所服从的分布称为自由度的 n 的 t 分布，记为 ) ( ~ n t T
性质：① ) 2 ( ,2)] ( [ , 0 )] ( [ nnnn t D n t E ②222) (21) 1 , 0 ( ) ( lim xne N n t
(3) F 分布：设随机变量 ) ( ~ ), ( ~2212n V n U ，且 U 与 V 独立，则随机变量212 1) , (n Vn Un n F 所服从的分布称为自由度 ) , (2 1n n 的 F 分布，记为 ) , ( ~2 1n n F F
性质：设 ) , ( ~ n m F X ，则 ) , ( ~1m n FX 七、参数估计 1、参数估计 (1) 定义：用 ) , , (2 1 nX X X 估计总体参数 ，称 ) , , (2 1 nX X X 为 的估计量，相应的 ) , , (2 1 nX X X 为总体 的估计值。
(2) 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值 2、点估计中的矩估计法：（总体矩=样本矩）
离散型样本均值： niiXnX E X11) (
连续型样本均值：
dx x xf X E X ) , ( ) (
离散型参数：niiXnX E12 21) (
3、点估计中的最大似然估计 最大似然估计法：nX X X , ,2 1取自 X 的样本，设 )] ( ) ( )[ , ( ~ P X X P x f Xi 或 则可得到概率密度：] ) ( ) ( ) , , ( [ ) , ( ) , , , (1 12 112 1 niinii n nnii nP x X P x X X X X P x f x x x f 或
基本步骤：
①似然函数：
] ) ( [ ) , ( ) (1 1 niiniiP x f L 或
②取对数：niiX f L1) , ( ln ln
③解方程：
0ln, , 0ln1kL L 最后得：
) , , ( , ), , , (2 1 2 11 1nk knx x x x x x