第一章
事件与概率 一、内容提要 1.随机试验 在一组条件的实现下,对自然现象和社会现象的观察或实验统称为试验。对于随机现象的试验称为随机试验,记为 E.随机试验具有以下特征:
(1)在不变的一组条件下,可以重复多次进行; (2)每次试验的可能结果不止一个,且能在试验前明确所有可能的试验结果; (3)每次试验前不能肯定哪一个结果会发生,但每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个。
2.事件的概念 随机试验的每一个可能发生的结果称为该试验的基本事件或样本点,记为 。一个随机试验的所有基本事件的集合,称为试验的样本空间,记为 ,即 } { 。
在一次随机试验中可能发生也可能不发生,而在大量的重复试验中具有某种统计规律性的事件称为随机事件,记为 A , B ,…. 在每一次试验中必然发生的事件,称为该试验的必然事件,记为 ;在任何一次试验中必然不发生的事件,称为该试验的不可能事件,记为 。必然事件包含试验的所有基本事件,而不可能事件不包含任何基本事件。
3.事件之间的关系及运算
(1)如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生,则称事件 A 包含于事件 B 或称事件 B 包含事件 A ,记为 A B B A 或 。
(2)如果 B A 且 A B ,则称事件 A 与 B 相等,记为 A = B 。
(3)事件 A 与事件 B 至少发生一个的事件称为事件 A 与 B 的和事件,记为 B A 。类似地,n 个事件 A 1 , A 2 ,…, A n 至少发生一个的事件称为这 n 个事件的和,记为ininA A A A12 1 ,可列无穷多个事件 A 1 , A 2 ,…, A n ,…的和,记为 1 iiA 。
(4)事件 A 与事件 B 同时发生的事件称为 A 与 B 的积事件,记为 B A 或 AB。类似地, n个事件 A 1 , A 2 ,…, A n ,同时发生的事件称为这 n 个事件的积,记为 nii nA A A A12 1。可列无穷多个事件 , , , ,2 1 nA A A 同时发生的事件称为 , , , ,2 1 nA A A 的积,记为 1 iiA 。
(5)事件 A 发生而事件 B 不发生的事件称为事件 A 与 B 的差,记为 A—B 或 B A 。
(6)如果事件 A 与事件 B 不能同时发生,即 AB ,则称事件 A 与 B 是互不相容的,此时B A 可表示为 A+B 。类似地,如果 n 个事件nA A A , , ,2 1 中, j i A Aj i , ,则称这 n 个事件是两两互不相容的。如果可列无穷多个事件 , , , ,2 1 nA A A 中, j i A Aj i , ,则称事件 , , , ,2 1 nA A A 是两两互不相容的。
(7)如果事件 A 与事件 B 必然有一个发生,但不能同时发生,即 B A B A , ,则称事件 A 与 B 互为对立事件,记为 A B (或 B A )。显然, A A A A A A , , 。
由(6),(7)看出,若 A 与 B 是对立事件,则 A 与 B 必为互不相容事件;反之,不一定成立。
(8)事件的运算法则
①交换律
. , BA AB A B B A
②结合律
). ( ) ( ), ( BC A C AB C B A C B A
③分配律
). ( ) ( ) ( , C A B A C B A AC AB C B A
④对偶律
niiniiniiniiA A A A1 1 1 1, . 4.随机事件的概率 (1)刻画随机事件 A 在试验中发生的可能性大小的数值称为随机事件 A 的概率,记为 P( A ).必然事件的概率等于 1,即 1 P ;不可能事件的概率等于 0,即 0 ) ( P ;随机事件 A 的概率:0≤ P ( A )≤1. (2)事件的频率及其稳定性:设事件 A 在 n 次试验中发生了 n A 次,则称比值nn A为随机事件A 在 n 次试验中所发生的频率,记为 ) (A f n .即nnA fAn ) ( . 实践证明,当试验次数 n 充分大时,随机事件的频率常在一个确定的数值 p 附近摆动,而且一般来说随着试验次数的增多,这种摆动的幅度愈变愈小,称此为随机事件频率的稳定性。
(3)概率的统计定义:若随着试验次数 n 的增大,事件 A 发生的频率 ) (A f n 在〔0,1〕上某一个数值 p 附近摆动,则称 p 为事件 A 的概率,记为 p A P . (4)概率的一般定义:设随机试验 E 的样本空间为 Ω ,对于 E 的每一个随机事件 A 都与一个确定的数值 P ( A )对应,如果 P ( A )满足下列条件:
①0≤ P ( A )≤1; ② 1 P ;
③对于两两互不相容事件 A 1 , A 2 ,…, 有
1 1 1 1), ( ) ( , ) ( ) (kkkknkknkkA A P A P A P 则称 P(A) 为事件 A 的概率。
5.古典概型 如果随机试验具有下述特征:
(1)所有可能的试验结果只有有限多个,即其基本事件只有有限多个; (2)试验中每个基本事件的发生是等可能的,则称这种随机试验为古典概型。
设随机试验的基本事件总数为 n , A 为一随机事件,它包含 k 个基本事件,则称比值nk为随机事件 A 的概率, 即
中基本事件总数中包含的基本事件数 AnkA P ) ( . 6.概率加法公式 (1)对任意事件 A 与 B , 有
). ( ) ( ) ( ) ( AB P B P A P B A P
(2)对于互不相容的事件 A 与 B , 有
). ( ) ( ) ( B P A P B A P
(3)对于任意 n 个事件 A 1 , A 2 ,…, A n ,
有
ni n j i n k j innk j i j i iniiA A A P A A A P A A P A P A P1 1 12 111). ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( (4)对于任意 n 个两两互不相容事件 A 1 , A 2 ,…, A n ,即 ), ( j i A Aj i ,
有
. ) ( ) (1 1 niiniiA P A P
(5)对立事件的概率之和等于 1, 即
) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( A P A P A P A P , . (6)若在试验中, n 个事件 A 1 , A 2 ,…, A n 互不相容,且 niiA1 ,则这些事件概率的和等于 1, 即
niiA P11 ) ( . 7.条件概率 设 A , B 是同一随机试验的两个事件,且 P( A )>0,则称 ) () () | (A PAB PA B P
为事件 A 已发生的条件下事件 B 发生的条件概率。
8.事件的独立性 (1)两个事件的独立性:若 P ( AB )= P ( A ) P ( B ),则称 A 与 B 是相互独立的。
若 P( A )>0, P ( B )>0,则 A 与 B 相互独立的充分必要条件是 . )] ( ) ( [ ), ( ) ( A P B A P B P A B P
若 A 与 B 是相互独立的,则 A 与 B , A 与 B , A 与 B 也都相互独立。
, 与任何事件相互独立。
(2)多个事件的独立性:对于三个事件 A , B , C ,若下列各等式同时成立,则称它们相互独立。
P ( AB )= P ( A ) P ( B ); P ( BC )= P ( B ) P ( C ); P ( AC )= P ( A ) P ( C ); P ( ABC )= P ( A ) P ( B ) P ( C ). 若前三个等式成立,则称 A , B , C 两两相互独立。
对 n 个事件 A 1 , A 2 ,…, A n ,若对于所有可能的组合 1≤ i < j < k ≤ n , 有
) , , 2 , 1 , , ( ), ( ) ( ) ( n j i j i A P A P A A Pj i j i
) , , 2 , 1 , , , ( ), ( ) ( ) ( ) ( n k j i k j i A P A P A P A A A Pk j i k j i
…… ) ( ) ( ) ( ) (2 1 2 1 n nA P A P A P A A A P , 则称 A 1 , A 2 ,…, A n 相互独立。若只有第一个等式成立,则称 A 1 , A 2 ,…, A n 是两两相互独立的。可见 n 个事件相互独立必定两两独立,反之未必成立。
(3)试验的独立性:若试验 E 1 的结果的发生与试验 E 2 的结果的发生是独立的,则称试验 E 1
与 E 2 是独立的。若在同样的条件下,重复做同一试验,且各次试验是相互独立的,则称为重复独立试验。
9.概率的乘法公式 (1)对任意两个事件 A , B
有
) 0 ) ( ( ), ( ) ( ) ( A P A B P A P AB P
) 0 ) ( ( ), ( ) ( ) ( B P A B P B P AB P
(2)对于相互独立的两个事件 A, B
有
). ( ) ( ) ( B P A P AB P
(3)对于任意 n 个事件 A 1 , A 2 ,…, A n ,若 , 0 ) (2 1nA A A P
有
). ( ) ( ) ( ) ( ) (1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 n n nA A A A P A A A P A A P A P A A A P
(4)对于 n 个相互独立的事件 A 1 , A 2 ,…, A n ,有1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )n nP A A A P A P A A
10.全概率公式与贝叶斯公式 全概公式:若事件组 B 1 , B 2 ,…, B n 满足 (1)
B 1 , B 2 ,…, B n 两两互不相容,且 P ( B i )>0,( i =1,2,…, n ); (2)
.2 1 nB B B
则对于任一事件 A
皆有
) ( ) ( ) (1iniiB A P B P A P 。
贝叶斯公式(逆概公式):在全概公式中(1)、(2)成立的条件下,若 P ( A )>0, 有
). , , 2 , 1 ( ,) ( ) () ( ) () (1n jB A P B PB A P B PA B Pnii ij jj 11.贝努里概型 若随机试验满足两个条件:
(1)每次试验只有两个可能结果 A 及 A ,且 P ( A )= p , ); 1 0 ( , 1 ) ( p q p A P
(2)
n 次实验中,各次试验相互独立。
则称这样一种概型为 n 重贝努里概型。
在贝努里概型中, n 次试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率由以下公式给出 ) , , 2 , 1 , 0 ( , ) ( n k q p C k Pk n k kn n , 此式也可称为二项概率公式。
有些试验结果虽不止两个,但根据问题的性质,仍可归结为贝努里概型。如考察电子管寿命,它当然可取不小于零的任意数值,但是,若把寿命大于 500 小时的作为合格品,其余为次品,就可认为是两种不同的结果,属贝努里概型。
二、要求 1.了解概率论与数理统计的研究对象,内容及方法。
2.掌握随机试验,样本空间,随机事件等概念。
3.熟悉事件之间的关系及运算,并能恰当地用事件表示实际问题。
4.正确理解随机事件的概率的概念,熟记概率的性质。
5.掌握古典概型的概念,能熟练地计算古典概型的几类基本问题。
6.掌握条件概率及与条件概率有关的公式:乘法公式,全概公式和贝叶斯公式,并能熟练地运用这些公式计算概率。
7.掌握随机事件和随机试验的独立性的概念,并能熟练地运用独立性计算有关概率问题。
8.正确理解互不相容事件,对立事件,独立事件的概念及三者之间的关系。
三、例题分析 例 1
一袋里有 5 个球,它们分别标号 1,2,3,4,5.试写出下列随机试验的样本空间。
(1)从袋中一次任取两球,记录取出球的号码; (2)从袋中任取一球,取后不放回袋中,再从袋中任取一球,记录两次取球的号码; (3)从袋中任取一球,取后放回袋中,再从袋中任取一球,记录两次取球的号码; (4)从袋中每次取一球,取后不放回,直到取到一号球为止。
分析(1)此试验为一次取两球,没有取球的先后顺序问题。从 5 个球中取出两球的每一种取法为一个基本事件,不同取法的总数即为基本事件的总数,共有 1025 C 种,即样本空间包含 10个基本事件。
(2)此试验为不放回抽取,两次取得球的标号不能相同,且与取球的先后顺序有关。第一次取球时袋中的 5 个球中的任何一个都可能被取到,第二次取球时,袋中剩下的 4 个球中的任何一个都可能被取到,按这种方式取球共有 2025 P 种取法,即样本空间包含 20 个基本事件。
(3)此试验为有放回抽取,两次取得球的标号可以相同,且每次从袋中取球时都有 5 个球。按这种方式取球,共有 5 2 种取法,即样本空间含有 25 个基本事件。
(4)此试验有以下特点:每次取得的标号不同;每次取球时袋中的球都比前一次少一个,且袋中的任何一个球都可能取到;取到一号球试验就结束。因一号球可能在第 i 次取到,( i =1,2,3,4,5),所以共有 65 144342414 P P P P 种不同取法。
解
(1)设( i , j )表示取到的两球的号码。( i , j =1,2,3,4,5).于是样本空间可表示为 )} 5 , 4 ( ), 5 , 3 ( ), 4 , 3 ( ), 5 , 2 ( ), 4 , 2 ( ), 3 , 2 ( ), 5 , 1 ( ), 4 , 1 ( ), 3 , 1 ( ), 2 , 1 {(1
(2)设( i , j )表示第一次取到 i 号球,第二次取到了 j 号球.( i , j =1,2,3,4,5).于是有 )} 4 , 5 ( ), 3 , 5 ( ), 2 , 5 ( ), 1 , 5 ( ), 5 , 4 (), 3 , 4 ( ), 2 , 4 ( ), 1 , 4 ( ), 5 , 3 ( ), 4 , 3 ( ), 2 , 3 ( ), 1 , 3 ( ), 5 , 2 ( ), 4 , 2 ( ), 3 , 2 ( ), 1 , 2 ( ), 5 , 1 ( ), 4 , 1 ( ), 3 , 1 ( ), 2 , 1 {(2 )} 5 , 5 ( ), 4 , 5 ( ), 3 , 5 ( ), 2 , 5 ( ), 1 , 5 ( ), 5 , 4 ( ), 4 , 4 ( ), 3 , 4 ( ), 2 , 4 ( ), 1 , 4 ( ), 5 , 3 ( ), 4 , 3 (), 3 , 3 ( ), 2 , 3 ( ), 1 , 3 ( ), 5 , 2 ( ), 4 , 2 ( ), 3 , 2 ( ), 2 , 2 ( ), 1 , 2 ( ), 5 , 1 ( ), 4 , 1 ( ), 3 , 1 ( ), 2 , 1 ( ), 1 , 1 {( 33 )
( } ) 1 , 5 , 3 , 2 ( ), 1 , 3 , 2 ( ), 1 , 4 , 5 ( ), 1 , 3 , 5 ( ), 1 , 2 , 5 ( ), 1 , 5 , 4 (), 1 , 3 , 4 ( ), 1 , 2 , 4 ( ), 1 , 5 , 3 ( ), 1 , 4 , 3 ( ), 1 , 2 , 3 ( ), 1 , 5 , 2 ( ), 1 , 4 , 2 ( ), 1 , 3 , 2 ( ), 1 , 5 ( ), 1 , 4 )( 1 , 3 ( ), 1 , 2 ( ), 1 {( 44 )
(
评注
(1)确定试验的样本空间是计算概率的基础,首先要弄清试验的方式及试验的基本事件的特征,其次要确定基本事件的总数,然后将所有基本事件一一列出;(2)确定基本事件总数时,如果不考虑顺序,通常采用组合方法计算。如果考虑顺序,在不放回抽样情形,可采用无重复排列的方法计算;在放回抽样情形,可采用重复排列的方法计算。
例 2
某地区有 100 人是 1910 年出生的,考察到 2000 年活着的人数。
(1)试用样本点的集合表示事件“只有 5 人活着”,“至少有 5 人活着”,“至多有 4 人活着”; (2)试判断上述三事件中有无互不相容事件,对立事件。
分析
本题应先说明试验的一个基本事件如何表示,进而确定要表示的事件由哪些基本事件构成。
解
(1)设 i 表示到 2000 年有 i 个人活着,( i =0,1,2,…,100), A , B ,C 依次表示题中的三个事件,则它们可分别表示为 A ={5}, B ={5,6,…100}, C={0,1,2,3,4}.
(2)由于 BC AC , ,所以 A 与 C,B 与 C 都是互不相容的。又由于 }, 100 , , 2 , 1 , 0 {
有
C B } 4 , 3 , 2 , 1 , 0 {
所以 B 与 C 是对立事件。
评注
随机事件实际上是样本空间的一个子集,事件发生当且仅当子集中的一个样本点发生。因此,可以把对事件的分析转化为对集合的分析,利用集合间的关系来分析事件间关系。
例 3
设随机事件 A 、 B 互不相容, ( ) , ( ) ....