第四章
随机变量的数字特征 一、内容提要 （一）随机变量的数学期望 1.离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量 X 的分布列为 X x 1 x 2
x 3
…
… P P 1 P 2
P 3
… P k
… 若级数 kk k px 绝对收敛，则称级数 kk k px 为随机变量 X 的数学期望（或均值），简称期望，记作 E （ X ），即
kk k px X E ) (
（4.1）
2．连续型随机变量的数学期望 设连续型随机变量 X 的概率密度为 p ( x )，若积分 dx x xp ) ( 绝对收敛，则称积分 dx x xp ) ( 为随机变量 X 的数学期望（或均值），简称期望，记作 E （ X ）， 即
dx x xp X E ) ( ) (
（4.2）
由数学期望的定义形式，它是随机变 量 X 的所有可能取值与取相应值的概率乘积之和，不难理解，期望所反映的是随机变量 X 取值的概率“平均”。
3.期望的性质 （1）
C C C E , ) ( ——常数 （2）
) ( ) ( X CE CX E
（3）
) ( ) ( ) ( Y E X E Y X E
（4）若随机变量 X ， Y 相互独立，则有 ) ( ) ( ) ( Y E X E XY E
4.随机变量函数的期望 设离散型随机变量 X 的分布列为 X x 1 x 2
x 3
…
… P p 1 p 2
p 3
… p k
… 则随机变量 Y=f ( X )的期望为 Kk kp x f X f E Y E ) ( ) ( ) (
（4.3）
这里要求上述级数绝对收敛。
若连续型随机变量 X 的概率密度为 p ( x )，则随机变量 Y = f ( X )的期望为 dx x p x f X f E Y E ) ( ) ( ) ( ) (
（4.4）
这里当然也是以上述积分绝对收敛为条件的。
（二）随机变量的方差 1. 方差的定义 设随机变量 X 的期望为 E （ X ），若 2) (X E X E 存在，则称量 2 ) (X E X E 为随机变量 X的方差，记作 D （ X ）， 即
2) ( ) ( X E X E X D
（4.5）
而 ) (X D 称为 X 的均方差（或标准差）通常用 ) (X 表之。
若离散型随机变量 X 的分布列为 X x 1 x 2
x 3
…
… P p 1 p 2
p 3
… p k
… 则 X 的方差 Kk kp X E x X E X E X D2 2) ( ) ( ) (
（4.6）
若边连续型随机变量 X 的概率密度为 p ( x )，则 dx x p X E x X E X E X D ) ( ) ( ) ( ) (2 2
(4.7) 在方差计算中，常用下面计算公式 22) ( ) ( ) ( X E X E X D
(4.8) 从方差定义的形式看，它是随机变量 X 所有可能的取值与其“平均”程度的差的平方与取相应值的概率乘积之和，它反映了随机变量 X 的取值关于其平均值的离散和程度。与 E （ X ）一样， D （ X ）
也是 X 的重要数字特征。
2.方差的性质 （1）
D （ C ）=0 （2）
D （ CX ）= C 2 D （ X ）
（3）
D （ X + C ）= D （ X ）
（4）若随机变量 X ， Y 相互独立，则 D （ X + Y ）= D （ X ）+ D （ Y ）
一般地， X 1 ， X 2 ，…， X n 相互独立，则 ninii iX D X D1 1) ( ) (
（5）函数 2) ( x X E x f 在 x=E(X)处取得最小值 D （ X ）此性质说明随机变量 X 的取值关于 E （ X ）的偏离和程度最小，即 E（ X ）刻划了 X 取值的集中位置。
（三）常见分布的数学期望和方差 常见分布的数学期望和方差列表如下。
常见分布的数学期望和方差 分布名称 概率分布（或概率密度）
数学期望 方差 退化分布 10 x X P
x 0 0
0-1 分布 1 , 0, 1 q p q X Pp X P p pq 二项分布 1, 1 0 , , 2 , 1 , 0, q pp n kq p C k X Pk n k kn
np npq 泊松分布 0 , 2 , 1 , 0,! kekk X Pk λ λ 几何分布 2 , 11 kp q k X Pk p1 2pq 超几何分布 ) , min( , 1 , 0,n M kCC Ck X PnNK nM NkM NnM 1) 1 ( Nn NNMNnM 巴斯卡分布 , 1 ,,11 r r kq p C k X Pr k r rk pr 2prp 均匀分布 。b x aa b x p其它 , 0, ,1) (
2b a 12) (2a b 正态分布 222) (21) (xe x p μ、σ为常数且σ＞0 μ σ 2
指数分布 ) 0 (. 0 , 0, 0 ,) (xx ex px 1 21 分布 ) 0 , 0 (. 0 , 00 ,) ( ) (1 axx e xa x px aa a 2a (四)随机向量的数字特征 1.两个随机变量的函数的数学期望公式 对于两个随机变量 X ， Y 的函数 Z = f ( X , Y )的数学期望计算，有下列公式 （1）当（ X ， Y ）为离散型随机向量，且概率分布为 ) , 2 , 1 , ( , L j i p y Y x X Pij j时，我们有 i jij j ip y x f Y X f E Z E ) , ( ) , ( ) (
（4.9）
（2）当（ X ， Y ）为连续型随机向量，且概率密度为 p ( x , y )时，我们有
dxdy y x p y x f Y X f E Z E ) , ( ) , ( ) , ( ) (
（4.10）
特别地，有 （3）当（ X ， Y ）为离散型时 i j ij i ij ii j ii i ij ip y p y Y Ep x p x X E..) () (
（4.11）
jj ji jij jii ii jij ip Y E yp Y E y Y Dp X E xp X E x X D.22.22) () ( ) () () ( ) (
(4.12)
（4）当（ X ， Y ）为连续型时 dy y p ydxdy y x yp Y Edx x pxdxdy y x xp X EY,,
（4.13）
dy y p Y E ydxdy y x p Y E y Y Ddx x p X E xdxdy y x p X E x X DYX2222,,
（4.14）
2. 协方差及协方差矩阵 量{[ X － E ( X )]·[ Y － E ( Y )]}称为 X , Y 的协方差，记作 Cov ( X , Y )或者σ XY ，即 Y E Y X E X E Y X CovXY ,
（4.15）
计算协方差可用公式 Y E X E XY E Y X CovXY ,
（4.16）
协方差具有性质
（1）
Cov ( X , Y )= Cov ( Y , X ) （2）
Cov ( aX , bY )= abCov ( X , Y )
a , b ——常数 （3）
Cov ( X 1 + X 2 , Y )= Cov ( X 1 , Y )+
Cov ( X 2 , Y ) （4）若 X , Y 相互独立，则 Cov ( X , Y )=0 （5）
D ( X ± Y )= D ( X )+ D ( Y )±2 Cov ( X , Y ) 设 X 1 , X 2 ,…, X n 为 n 个随机变量 记 C ij = E {[ X i － E ( X i )][ X j － E ( X j )]}
i , j =1,2,…, n
称对称矩阵 C
nn n nnnC C CC C CC C CC 2 12 22 211 12 11 为 X 1 , X 2 ,…, X n 的协方差矩阵 3. 相关系数 称量 Y D X DY X Cov,为随机变量 X , Y 的相关系数，记作ρ XY
Y D X DY X CovXY,
(4.17)
相关系数具有下述性质 （1）|ρ XY |≤1 （2）|ρ XY |=1 的充要条件为
存在常数 a , b
使得 P { Y = aX ＋ b }=1 （3）当 X , Y 相互独立时，ρ XY =0 ρ XY =0 时，称 X , Y 不相关。当 X , Y 相互独立时，则 X 与 Y 不相关，反之不然，就是说，即使X , Y 不相关，它们也未必相互独立，但须注意，对于重要的二维正态分布，两者是等价的。
4
矩——原点矩和中心矩 对于随机变量 X ，若 E ()存在，则称 KKX E 为 X 的 K 阶原点矩 若 KX E X E 存在，则称 KKX E X E 为 X 的 K 阶中心矩。
显然 X D X E 2 1, 是两种特殊的矩。
二、要
求 1. 深刻理解随机变量的期望和方差的定义和意义。
2. 会求随机变量的期望和方差，会用公式计算随机变量的函数的期望，会求协方差，相关系数。
3. 熟练掌握几种常用分布的期望和方差的计算，并记住结果。这些分布包括：0－1 分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，指数分布和正态分布等。
4. 能够熟练运用期望和方差的性质于计算中。
三、例题分析 例 1
设随机变量 X 的分布列为 X -2 0 2 P 0.4 0.3 0.3 求 E ( X ), D ( X ) 分析
已知随机变量的概率分布时，可直接利用（4.1），（4.3），（4.8）式计算。
解
E ( X )=(－0.2)×0.4＋0×0.3＋2×0.3=－0.2
E ( X 2 )=(－2) 2 ×0.4＋0 2 ×0.3＋2 2 ×0.3=2.8 于是
D ( X )= E ( X 2 )－[ E ( X )] 2 =2.8－0.04=2.76 例 2
把 4 个球随机地投入 4 个盒子中去，设 X 表示空盒子的个数，试求 E ( X )和 D ( X ). 分析
这里要求 E ( X )和 D ( X )，必须先求出 X 的概率分布，然后利用（4.1），（4.3），（4.8）式进行计算。
解
不难知道 X 的可能取值为 0,1,2,3,利用古典概型概率计算方法可求得：
6464! 404 X P
643641422121314 P C C CX P （X=1 指恰有一个空盒，这样 4 个球必定分配到恰好 3 个
盒子中，空盒可以为 4 个盒子中任一个，有14C 种方式，对于指定的空盒，4 个球应分配到剩下的 3个特定盒子中，恰有一个盒子分到 2 个球，共有222413P C C 种不同方式）
.64143,6421422424344243424 C CX PC C CX P 于是 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 646 6436 6421 641 从而可算得 .64129641364212643616460,6413642126436164602 2 2 2 2 X EX E 因此
.6416956481641292222 X E X E X D
例 3
袋中有 1 个白球和 4 个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取得白球为止，试求取球次数的数学期望及方差。
分析
设 X 为取球次数，它是随机变量，因为每次取到黑球后不再放回，故 X 的所有可能取值为 1,2,3,4,5,要求 E(X)及 D(X)，首先必须求出 X 的概率分布，然后利用公式计算。
解
用古典概型概率计算方法可求得
,511 2 3 4 51 1 2 3 45,512 3 4 51 2 3 44,513 4 51 3 43,514 51 42 ,511 X PX PX PX P X P 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 51 51 51 51 51 因此
3515514513512511 X E
又
115155145135125112 2 2 2 2 2 X E
故有
2 3 11222 X E X E X D
例 4
气体分子的速度 X 服从马克斯韦尔分布，其概率密度为 . 0 , 0, 0 ,222 xx e Axx pax
其中 a ＞0 常数 求：（1）系数 A；
（2）气体分子运动平均速度 E ( X )及方差 D (X)。
分析
确定概率密度中待定常数的最基本方法，就是利用概率密度的性质
1 dx x p
通过解方程得到。在确定了系数 A 之后，直接利用（4.2），（4.4）及（4.8）式计算即可。
解
dx e x A dx x pax 0222
02222dttate a Attax令
33 3414 232 aAAa Aa
（2）
0322dx e x A dx x xp X Eax 0233222dttae t a Attax令 a Aa 2224
又
dx x p x X E2 2 02 4222dttae t a Attax令 23252 22 50235a Aadt e tAat 因此
2222223 a aX E X E X D
.4232a
例 5
设随机变量 X 的概率密度为 . , 01 1 ,112其它 xxx p 求 E ( X )及 D ( X ). 解
11 2011dxxxdx x xp X E
（奇函数在对称区间上积分为零）
dxxxdxxxx dx x p x X E 1110 2222 2 2121（偶函数在对称区间[－ a , a ]上的积分等于它在[0, a ]上积分的 2 倍 =212 21 201arcsin21121 2101122102 2 x x xdx x x x 因此
.21021222 X E X E X D
评注
（1）求数学期望和方差的基本条件是：先求出（或已知）离散型随机变量的分布列或连续型随机变量的概率密度，这部分的求解要运用前面三章的知识。
（2）在已掌握了随机变量的分布列或概率密度的基础上，直接运用期望及方差的定义或公式即
可求出。在计算中时常运用排列组合及微积分的一些知识和运算技巧。
（3）在离散型场合要注意一些关系式恒等变形的技巧（如二项分布，泊松分布等的期望，方差计算中的技巧），同时还要注意一些组合恒等式的运用。
（4）在连续型场合，关于积分计算常用到 ①分部积分法 ②换元积分法 ③奇函数，偶函数在对称区间上的积分性质（如例 5）
④Γ—函数 01 10 , dx e x a
在期望，方差计算中，该函数应用很广（如例 4），要特别注意它的基本结论 .21, ! 11 N n n n
⑤从上述几例，可以看出，方差的计算在期望已知时，一般用公式 22X E X E X D
计算较为简单，但有时直接用方差定义计算却更为简捷。
例 6
设随机变量 X 的概率密度为
为常数 , ,21 x e x px 求 E ( X )及 D ( X ) 分析
由于概率密度中含有绝对值，积分时通常作变量替换，以便去掉绝对值，在求出了 E(X)之后，我们发现直接用定义求方差更为方便。
解
dx e x dx x xp X Ex 21
dt e ttt x21令
dt e dt tet t2121
dt et2210
dx x p X E x X D2
dx e xx 221
dt e tt t x 221 令
022 ! 2 3 dt e tt 例 7
若事件 A 在第 i 次试验中出现的概率为 p i ，设 X 为事件 A 在起初 n 次试验中出现的次数，试求 E ( X )及 D ( X )。
分析
如果按照一般方法，先求出 X 的分布列，然后再求数学期望及方差是相当复杂的。为了
避免求分布列的麻烦，我们用数学期望和方差的性质来求解，当然这里用到了将一个随机变量分解为若干个随机变量之和的技巧。
解
设 A 。
i ，A ； iX i次试验不出现 第次试验出现 第0, 1
i=1,2,… n
则有
,1niiX X
且
n i p p X D p X Ei i i i i , 2 , 1 , 1 ,
从而
niiniip X E X E1 1 由试验的独立性知诸 X i 相互独立，由此得 . 11 1 nii iniip p X D X D
评注
本题将 X 分解成若干个随机变量之和，从而避免了寻求 X 的分布列 P{X=k}而进行的比较复杂的概率计算，同时利用期望和方差的性质，使得它们的计算也得到大大简化，较好地使问...