专题六
统计与概率 知识网络建构
一、
基本概念检测 1、 、 在样本的频率分布直方图中，共有 11 个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它 10 个小长方形的面积和的14 ，且样本容量为 160，则中间一组的频数为 A．32
B．0.2
C．40
D．0.25
2、 、 分别写有数字 1，2，3，4 的 4 张卡片，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率是（
）
A．14 B．13 C．12 D．23 3、 、 通过随机询问 110 名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列联表：
由22( )( )( )( )( )n ad bcKa b c d a c b d ，算得22110 (40 30 20 20)~ 7.8.60 50 60 50K
附表：
参照附表，得到的正确结论是（
）
A．有 99％以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”
B．有 99％以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过 0．1％的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过 0．1％的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关” 4、 、 某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习，每人投 10次，投中的次数如下表：
则以上两组数据的方差中较小的一个为 ，则 = A.
B.
C.
D.2 5、 、 已知{( , )| 6, 0, 0} x y x y x y ，{( , )| 4, 0, 2 0} A x y x y x y ，若向区域 上随机投一点 P ，则点 P 落入区域 A 的概率为(
) A． 31
B． 32
C． 91
D． 92 6、 、 连掷骰子两次 (骰子六个面上分别标以数字6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1）得到的点数分别记为 a 和 b ，则使直线 34 0 x y 与圆2 2( ) ( ) 4 x a y b 相切的概率为
. 7、 、 某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）
合唱社 粤曲社 书法社 高一 45 30 a
高二 15 10 20
学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30人，结果合唱社被抽出 12 人，则这三个社团人数共有_______________. 8、 、 考古学家通过始祖鸟化石标本发现，其股骨长度 x （cm）与肱骨长度 y(cm)线性回归方程为1.197 3.660 y x ，由此估计，当肌骨长度为 50cm 时，肱骨长度的估计值为（）cm 二、
典型例题分析 例 例 1 、1 某初级中学共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级 初二年级 初三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到初二年级女生的概率是 0.19. （1）
求 x 的值；
（2）
现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，问应在初三年级抽取多少名？ （3）已知 y 245,z 245,求初三年级中女生比男生多的概率.
例 例 1 、2
某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 A，将其与原有的一个优良品种 B 进行对照试验，两种小麦各种植了 25 亩，所得亩产数据（单位：千克）如下
品种 A:357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,414,
415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,451,454 品种 B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，395，397
397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430 （I）完成数据的茎叶图 （II）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？ （III）通过观察茎叶图，对品种 A 与 B 的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论。
例 例 1、 、3 为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出 100 条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）
（Ⅰ）在答题卡上的表格中填写相应的频率； 分组 频率 [1.00,1.05)
[1.05,1.10)
[1.10,1.15)
[1.15,1.20)
[1.20,1.25)
[1.25,1.30)
（Ⅱ）估计数据落在（1.15,1.30）中的概率为多少； （Ⅲ）将上面捕捞的 100 条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出 120 条鱼，其中带有记号的鱼有 6 条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数。
例 例 2 、1 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生产能耗 y（吨标准煤）的几组对照数据
x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 （1）
请画出上述数据的散点图；
（2）
请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 （3）
已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤，试根据（2）求出的回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤（参考数值：3*2.5+4*3+5*4+6*405=66.5）
例 例 2 2 、2 2 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份 2002 2004 2006 2008 2010 需求量（万吨）
236 246 257 276 286 （Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 y bx a ; （Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量。
例 例 3 、1 某工科院校对 A,B 两个专业的男女生人数进行调查，得到如下的列联表：
(I) 从 B 专业的女生中随机抽取 2 名女生参加某项活动，其中女生甲被选到的概率是多少？ (II)能否在犯错误的概率不超过 0．05 的前提下，认为工科院校中“性别”与“专业”有关系呢? 注：) )( )( )( () (22d b c a d c b abc ad nK
例 例 3 3 、2 2 为了比较注射 A,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选 200 只家兔做实验，将这 200 只家兔随机地分成两组。每组 100 只，其中一组注射药物 A，另一组注射药物 B。下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和药物 B 后的实验结果。（疱疹面积单位：2mm ）
（Ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；
（Ⅱ）完成下面 2 2 列联表，并回答能否有 99.9％的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”。
附：22( )( )( )( )( )n ad bcKa b c d a c b d
例 例 4 4 、1 1 、一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1，2，3，4. （Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率； （Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 n，求 2 n m 的概率.
例 例 4 4 、2 2 、有编号为1A,2A,„10A的 10 个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：
其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品。
（Ⅰ）从上述 10 个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； （Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取 2 个.
（ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）求这 2 个零件直径相等的概率。
例 例 4 、3 设平顶向量ma ＝ （ m , 1）, nb = ( 2 , n )，其中 m， n {1,2,3,4}．
（I）请列出有序数组（ m，n ）的所有可能结果；
（II）记“使得ma （ma -nb ）成立的（ m，n ）”为事件 A，求事件 A 发生的概率。
三、
反馈训练
1 、 、 某 班 50 名 学 生 在 一 次 百 米 测 试 中 ， 成 绩 全 部 介 于 13 秒 与 18 秒 之间，将测试结果分成五组：每一组 13,14) ；第二组 14,15) ，…，第五组 17,18．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是__________. 2、 、 在正四面体的 6 条棱中随机抽取 2 条，则其 2 条棱互相垂直的概率为
（
）
A．34 B．23 C．15 D．13 3、 、 一个容量为 20 的样本数据，分组情况及各组的频数如下：(10,20],2 ; (20,30],3 ; (30,40],4; (40,50],5 ; (50,60],4; (60,70],2 .则样本数据在(-∞,30)上的频率为
(
)
4、 、 甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C °）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是_____________，气温波动较大的城市是____________.
5、 、 经调查某地若干户家庭的年收入 x
(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，并得到y关于 x 的线性回归直线方程：yˆ=0.245 x +0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入
每增加 l 万元，年饮食支出平均增加（
）万元． 6、 、 有一根长为 1 米的细绳子，随机从中问将细绳剪断，则使两截的长度都大于18米的概率为
。
7、 、 为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从 A、B、C 三个区中抽取 6 个工厂进行调查.已知 A、B、C 区中分别有 18,27，9 个工厂. （1）求从 A、B、C 区中应分别抽取的工厂个数； （2）若从抽得的 6 个工厂中随机地抽取 2 个进行调查结果的对比，求这 2 个工厂中至少有1 个来自 A 区的概率。
8、 、 记不等式组 0 10 21y xy xx表示的平面区域为 M. （Ⅰ）画出平面区域 M，并求平面区域 M 的面积； （Ⅱ）若点）
， （ b a为平面区域 M 中任意一点， 求直线b ax y 的图象经过一、二、四象限的概率.
9、 、 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50
（１）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽６人，其中男生抽多少人？ （２）在上述抽取的６人中选２人，求恰有一名女生的概率. （３）为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关，计算出28.333 K ，你有多大的把握认为是否喜欢打蓝球与性别有关？ 下面的临界值表供参考：
2( ) P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 反思：