专题突破练(7)
概率、统计与其他知识的交汇 解答题 1．某校高三年级有 500 名学生，一次考试的英语成绩服从正态分布N(100,17.5 2 )，数学成绩的频率分布直方图如下图：
(1)如果成绩高于 135 分的为特别优秀，则本次考试英语、数学成绩特别优秀的学生大约各多少人？ (2)试问本次考试英语和数学的平均成绩哪个较高，并说明理由； (3)如果英语和数学两科成绩都特别优秀的共有 6 人，从(1)中的这些学生中随机抽取 3 人，设 3 人中两科成绩都特别优秀的有 ξ 人，求 ξ 的分布列和数学期望． 参考公式及数据：
若 X～N(μ，σ 2 )，则 P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.68， P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.96，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.99. 解 (1)因为英语成绩服从正态分布 N(100,17.5 2 )， 所以英语成绩特别优秀的概率 P 1 ＝P(X≥135)＝(1－0.96)× 12 ＝0.02， 由频率估计概率，得数学成绩特别优秀的概率 P 2 ＝0.0016×20× 34 ＝0.024， 所以英语成绩特别优秀的学生大约有 500×0.02＝10 人， 数学成绩特别优秀的学生大约有 500×0.024＝12 人． (2)本次考试英语的平均成绩为 100 分，
数 学 的 平 均 成 绩 为 60×0.16 ＋ 80×0.168 ＋ 100×0.48 ＋ 120×0.16 ＋140×0.032＝94.72 分， 因为 94.72<100，所以本次考试英语的平均成绩较高． (3)英语和数学成绩都特别优秀的有 6 人，则单科成绩特别优秀的有 10 人，ξ可取的值有 0,1,2,3，所以 P(ξ＝0)＝ C310C 3 16 ＝314 ，P(ξ＝1)＝C 2 10 C 1 6C 3 16＝ 2756 ， P(ξ＝2)＝ C110 C 2 6C 3 16＝ 1556 ，P(ξ＝3)＝C 3 6C 3 16 ＝128 ， 故 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 314
2756
1556
128
E(ξ)＝0×314 ＋1×2756 ＋2×1556 ＋3×128 ＝98 . 或因为 ξ 服从超几何分布，所以 E(ξ)＝ 3×616＝ 98 . 2．2019 年 3 月 5 日，国务院总理李克强作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部公布的《教育部 2019 年部门预算》中透露，2019 年教育部拟抽检博士学位论文约 6000 篇，预算为 800 万元．国务院学位委员会、教育部 2014 年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送 3 位同行专家进行评议，3 位专家中有 2 位以上(含 2 位)专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”；有且只有 1 位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送 2 位同行专家进行复评，2 位复评专家中有 1 位以上(含 1 位)专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”．设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为 p(0<p<1)，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立． (1)记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为 f(p)，求f(p)； (2)若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为 900 元，需要复评的评审费
用为 1500 元，除评审费外，其他费用总计为 100 万元．现以此方案实施，且抽检论文为 6000 篇，问是否会超过预算？并说明理由． 解 (1)因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为 C 2 3p 2 (1－p)＋C 3 3 p 3 ， 一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为 C 1 3 p(1－p) 2 [1－(1－p) 2 ]， 所以一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率 f(p)＝C 2 3p 2 (1－p)＋C 3 3 p 3 ＋C 1 3 p(1－p) 2 ·[1－(1－p) 2 ]＝3p 2 (1－p)＋p 3 ＋3p(1－p) 2 [1－(1－p) 2 ]＝－3p 5 ＋12p 4 －17p 3 ＋9p 2 . (2)设每篇学位论文的评审费为 X 元，则 X 的可能取值为 900,1500. P(X＝1500)＝C 1 3 p(1－p) 2 ， P(X＝900)＝1－C 1 3 p(1－p) 2 ， 所以 E(X)＝900×[1－C 1 3 p(1－p) 2 ]＋1500×C 1 3 p(1－p) 2 ＝900＋1800p(1－p) 2 . 令 g(p)＝p(1－p) 2 ，p∈(0,1)， g′(p)＝(1－p) 2 －2p(1－p)＝(3p－1)(p－1)． 当 p∈ 0， 13时，g′(p)>0，g(p)在 0， 13上单调递增， 当 p∈ 13 ，1 时，g′(p)<0，g(p)在 13 ，1 上单调递减， 所以 g(p)的最大值为 g 13＝427 . 所以实施此方案，最高费用为 100＋6000× 900＋1800×427×10 － 4 ＝800(万元)． 所以若以此方案实施，不会超过预算． 3．(2019·重庆一中模拟)某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋糕成本 3元，且以 8 元的价格出售，若当天卖不完，剩下的无偿捐献给饲料加工厂．根据以往 100 天的资料统计，得到如下需求量表．该蛋糕店一天制作了这款蛋糕 X(X∈N)个，以 x(单位：个，100≤x≤150，x∈N)表示当天的市场需求量，T(单位：元)表示当天出售这款蛋糕获得的利润．
需求量/个 [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150] 天数 15 25 30 20 10 (1)若 x＝135，当 X＝130 时该蛋糕店获得的利润为 T 1 ，X＝140 时该蛋糕店获得的利润为 T 2 ，试比较 T 1 和 T 2 的大小； (2)当 X＝130 时，根据上表，从利润 T 不少于 570 元的天数中，按需求量用分层抽样的方法抽取 6 天． ①求此时利润 T 关于市场需求量 x 的函数解析式，并求这 6 天中利润为 650元的天数； ②再从这 6 天中抽取 3 天做进一步分析，设这 3 天中利润为 650 元的天数为ξ，求随机变量 ξ 的分布列及数学期望． 解 (1)当 X＝130 时，T 1 ＝130×(8－3)＝650(元)； 当 X＝140 时，T 2 ＝135×5－3×5＝660(元)． 所以 T 2 >T 1 . (2)①当 X＝130 时，利润 T＝ 8x－390，100≤x＜130，650，130≤x≤150， 令 T≥570，得 120≤x≤150， 所以利润 T 不少于 570 元的共有 60 天，其中有 30 天的利润为 650 元． 故按需求量用分层抽样的方法抽取的 6 天中利润为 650 元的天数为 6× 12 ＝3. ②由题意可知 ξ＝0,1,2,3， P(ξ＝0)＝ C33C 3 6 ＝120 ，P(ξ＝1)＝C 2 3 C 1 3C 3 6＝920 ， P(ξ＝2)＝ C13 C 2 3C 3 6＝920 ，P(ξ＝3)＝C 3 3C 3 6 ＝120 . 故 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 120
920
920
120
所以 E(ξ)＝0×120 ＋1×920 ＋2×920 ＋3×120 ＝32 .
4．(2019·北京师大实验中学四模)某地区开展农村电商培训活动，对电商团队、物流企业、返乡创业群体、普通农户等进行培训．某部门组织 A，B 两个调查小组在开始电商培训活动之前先进行问卷调查，从获取的有效问卷中，针对 25 至55 岁的人群，按比例随机抽取 400 份进行数据统计，具体情况如下表：
年龄/岁 A 组统计结果 B 组统计结果 参加电商培训 不参加电商培训 参加电商培训 不参加电商培训 [25,35) 50 25 45 20 [35,45) 35 43 30 32 [45,55] 20 60 20 20 (1)用分层抽样的方法从 400 人中按年龄是否达到 45 岁抽出一个容量为 80 的样本． ①求这 80 人中年龄达到 45 岁且参加电商培训的人数； ②从所抽取的年龄达到 45 岁且参加电商培训的人员中再抽取 3 人，安排进入某公司参观学习，求这 3 人中来自 A 组的人数 X 的分布列和数学期望； (2)从统计数据可直观得出“参加电商培训与年龄达到 m 岁有关”的结论．请列出 2×2 列联表，用独立性检验的方法，通过比较 K 2 的观测值的大小，判断 m取 35 时和 m 取 45 时犯错误的概率哪一个更小． 参考公式：
K 2 的观测值 k＝nad－bc 2a＋bc＋da＋cb＋d ，其中 n＝a＋b＋c＋d. 解 (1)①从 400 人中抽取 80 人，其中年龄达到 45 岁且参加电商培训的有40×80400 ＝8(人)． ②易知抽取的年龄达到 45 岁且参加电商培训的 8 人中来自 A 组的有 4 人，所以再次抽取的 3 人中来自 A 组的人数 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. P(X＝0)＝ C34C 3 8 ＝114 ，P(X＝1)＝C 1 4 C 2 4C 3 8＝ 37 ， P(X＝2)＝ C24 C 1 4C 3 8＝ 37 ，P(X＝3)＝C 3 4C 3 8 ＝114 . 所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3 P 114
37
37
114
所以 E(X)＝0×114 ＋1×37 ＋2×37 ＋3×114 ＝32 . (2)当 m＝35 时，整理数据得到如下 2×2 列联表：
参加电商培训 不参加电商培训 合计 未达到 35 岁 95 45 140 达到 35 岁 105 155 260 合计 200 200 400 所以 m＝35 时，K 2 的观测值 k 1 ＝ 400×95×155－45×1052140×260×200×200＝ 250091. 当 m＝45 时，整理数据得到如下 2×2 列联表：
参加电商培训 不参加电商培训 合计 未达到 45 岁 160 120 280 达到 45 岁 40 80 120 合计 200 200 400 所以 m＝45 时，K 2 的观测值 k 2 ＝ 400×160×80－120×402280×120×200×200＝ 40021. 因为 k 2 ＜k 1 ，所以 m 取 35 时犯错误的概率更小． 5．(2020·湖北武汉起点质量监测)武汉又称江城，是湖北省省会，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，黄鹤楼与东湖便是其中的两个．为合理配置旅游资源，现对已参观黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记 1 分，若继续游玩东湖记 2 分，每位游客选择是否参观东湖的概率均为 12 ，游客之间选择意愿相互独立． (1)从游客中随机抽取 3 人，记这 3 人的总得分为随机变量 X，求 X 的分布列与数学期望；
(2)①若从游客中随机抽取 m(m∈N * )人，记这 m 人的总分恰为 m 分的概率为A m ，求数列{A m }的前 10 项和； ②在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的人的累计得分恰为 n 分的概率为 B n ，探讨 B n 与 B n － 1 (n≥2)之间的关系，并求数列{B n }的通项公式． 解 (1)X 的所有可能取值为 3,4,5,6. P(X＝3)＝ 123 ＝ 18 ，P(X＝4)＝C23 123 ＝ 38 ， P(X＝5)＝C 2 3 123 ＝ 38 ，P(X＝6)＝ 123 ＝ 18 . 所以 X 的分布列为 X 3 4 5 6 P 18
38
38
18
所以 E(X)＝3× 18 ＋4×38 ＋5×38 ＋6×18 ＝92 . (2)①总分恰为 m 分的概率 A m ＝ 12m ， 所以数列{A m }是首项为 12 ，公比为12 的等比数列． 其前 10 项和 S 10 ＝12 × 1－12 101－ 12＝ 10231024 . ②因为已调查过的人的累计得分恰为 n 分的概率为 B n ，得不到 n 分的情况只有先得(n－1)分，再得 2 分，概率为 12 B n － 1 (n≥2)． 所以 1－B n ＝ 12 B n － 1 (n≥2)， 即 B n ＝－ 12 B n － 1 ＋1(n≥2)， 所以 B n － 23 ＝－12B n － 1 － 23(n≥2)， 所以 B n － 23 ＝ B 1 － 23 － 12n － 1 ，易知 B 1 ＝ 12 ，
所以 B n ＝ 23 －16－ 12n － 1 ＝ 23 ＋13－ 12n ＝ 23 ＋－1 n3×2 n .