第 六 章：自旋 与全同粒子
[1]在x ˆ 表象中，求x ˆ 的本征态
（解）
设泡利算符2 ，x ，的共同本征函数组是：
zs x21
和 zs x21
（1）
或者简单地记作 和 ，因为这两个波函数并不是x ˆ 的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x ˆ 的本征函数可表示：
2 1c c
(2) 2 1 ,cc 待定常数，又设x ˆ 的本征值 ，则x ˆ 的本征方程式是：
xˆ
(3) 将（2）代入（3）：
2 1 2 1ˆ c c c cx
(4) 根据本章问题 6（P．264），x ˆ 对z ˆ 表象基矢的运算法则是：
xˆ
xˆ
此外又假设x ˆ 的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）：
2 1 1 1c c c c
比较 , 的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有：
) 6 () 6 () 6 (122211 22 1cbac cc cc c 前二式得 12 ，即 1 ，或 1
当时 1 ，代入（6a）得2 1c c ,再代入(6c)，得：
ie c211
ie c212
是任意的相位因子。
当时 1 ，代入（6a）得 2 1c c
代入(6c)，得：
ie c211
ie c212
最后得x ˆ 的本征函数：
) (21 iex
对应本征值 1 ) (22 iex
对应本征值-1 以上是利用寻常的波函数表示法，但在2ˆ ˆ x共同表象中，采用zs 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。可用矩阵表示算符和本征矢。
01
10
21cc
（7）
x ˆ 的矩阵已证明是
0 11 0ˆ x
因此x ˆ 的矩阵式本征方程式是：
21211 01 0cccc
（8）
其余步骤与坐标表象的方法相同，x ˆ 本征矢的矩阵形式是：
1121 iex
1122 iex
[2]在z 表象中，求 n 的本征态， ) cos , sin sin , cos (sin n是 ) , ( 方向的单位矢。
（解）
方法类似前题，设 n 算符的本征矢是：
2 1c c x
(1)
它的本征值是 。又将题给的算符展开：
z y xn ˆ cos ˆ sin sin ˆ cos sin
(2) 写出本征方程式：
2 1 2 1ˆ cos ˆ sin sin ˆ cos sin c c c cz y x
(3) 根据问题（6）的结论，x ˆ ,y ˆ 对2ˆ ˆ z的共同本征矢 ， ，运算法则是
xˆ
， xˆ
，
iy ˆ
，
iy ˆ
， zˆ
，
zˆ
（4）
将这些代入（3），集项后，对此两边 ， 的系数：
2 21 1cos ) sin sin cos (sin) sin sin cos (sin cosc c ic i c
（5）
或
0 ) (cos sin0 sin ) (cos2 12 1c c ec e cii
（6）
（6）具有非平凡解（平凡解 01 c
， 02 c ）条件是久期方程式为零，即
0cos sinsin cos iiee它的解 12
（7）
1
时，代入（6）得：
1 22c e tg ci
（8）
（1）
的归一化条件是：
12221 c c
将（8）代入（9），得：
2cos) (1 ie c
2sin2 ie c
归一化本征函数是：
2sin2cos1i ie e
（10）
1 时，2 1 ,cc 的关系是：
1 22c e ctg ci 归一化本征函数是：
2cos2sin2i ie e
（11）
是任意的相位因子。
本题用矩阵方程式求解：运用矩阵算符：
0 11 0ˆ x
， 00ˆiiy
，1 00 1ˆ z
（12）
cos sinsin cosiieen
(13) 本征方程式是：
2222cos sinsin coscccceeii
(14) n 的本征矢是：
iiee2sin2cos1) (
, iiee2cos2sin2) (
(15) 补白：本征矢包含一个不定的 相位因式 ie ，由于 可以取任意值，因此2 1 , 的形式是多式多样的，但（15）这种表示法是有普遍意义的。
[3]在自旋态下01) (21 zs ，求2xs 和2ys
（解）2xs 是2ˆ x s 的均方偏差
2 2 2) (x x xs s s
2ys 是，2ˆ y s 的均方偏差
2 2 2) (y y ys s s
) (4) ( ˆ212212z z xs s s
4) (ˆ )(2212212 z x z xs s s s
0 ) ( ) (2) (2) ( ) (ˆ )(212121212121 z zz z z x z xs ss s s s s s 因此422 xs 在 ) (21 zs 态下，xsˆ,ysˆ对称，因而
422 ys
[4]求在下列状态下2ˆ j和zj ˆ 的可能测值。
（1）
) , ( ) (1121 1 zs
(1)
（2） ) , ( ) ( ) , ( ) ( 2311121 1021 2 z zs s
(2)
（3） ) , ( ) ( 2 ) , ( ) (311021 1 121 3 z zs s
(3)
（4）
) , ( ) (1 121 4 zs
(4)
（解）
依§8.2 总角动量理论，若电子的轨道运动的态用量子数 m l, 表示，在考虑到自旋的情形下，若用 )ˆ,ˆ,ˆ(2 2zj j l 共同表象，则电子的态可有四种；若 m l ，有以下二态：
) , (1 2) , (1 21) , , ( ,211 ,, m lm lzlm llm ls l j
（5）
) , (1 21) , (1 2) , , ( ,211 ,, m lm lzlm llm ls l j
（6）
若 m l ，有以下的二态：
0) , () , , ( ,21, l lzs l j
（7）
) , (0) , , ( ,21, l lzs l j
（8）
将题给的态和一般公式对照，发现（1）（2）（3）式与（7）（5）（6）（8）式相当，总角动量平方算符2ˆ j，总角动量分量算符zj ˆ 可能测值如下：
状态
数值 算符 （1）
（2）
（3）
（4）
的量子数 3/2 3/2 3/2 3/2 的量子数 3/2 1/2 -1/2 -3/2
[5]令 1 21ˆ ll ll
， ) 1 (1 2ˆ ll ll
， 1ˆ ˆ l l 证明：
)21( 0)21(ˆl jl jljmjljmj l
)21()21( 0ˆl jl jljmjljmj l
（证明）本题的 lˆ, lˆ是两个带有相加的常数分子的算符
z z y y x xl l l lˆˆˆˆˆˆ 根据总角动量理论内，前两算符可变形如下：
) 2 () 1 () ˆˆ ˆ(1 211 211 211 21ˆ) ˆˆ ˆ(1 211 211 211 21ˆ2 2 22 2 2 s l jl lll ls l jl lll llll
假设 m l ，试将（1）式运算于合成角动量的本征态ljmj （2 2ˆ,ˆj l 共同本征态），首先，对于21 l j 有：
ljmjm lm lm lm lm lm lm lm lljmj lb la lll l l l l l bl l l l l l all l j j l bl l j j l albas l jl ll 1 ,,1 ,,1 ,,1 ,,2 2 2) 1 2 () 1 2 (1 2143) 1 ( )23)(21( ) 1 (43) 1 ( )23)(21( ) 1 (1 2143) 1 ( ) 1 ( ) 1 (43) 1 ( ) 1 ( ) 1 (1 21) ˆˆ ˆ(1 211 21ˆ
（3）
式中1 21 lm la ；1 2 lm lb 。
其次，可对于21 l j 的本征态计算：
0}43) 1 ( )21)(21( 1 {}43) 1 ( )21)(21( 1 {1 21)} ˆˆ ˆ(1 211 21{ˆ1 ,,1 ,,2 2 2, , , m lm lm lm lj m j l lY l l l l l aY l l l l l blaYbYs l jl ll 又因为 1 l l，所以 )21()21( 0)ˆ1 (ˆ, , ,, , , , , , l jj jj m j lj m j l l j m j l l
[6] 一个具有两个电子的原子，处于自旋单态（s=0）。证明自旋轨道耦合作用 s) ( 。
L对能量无贡献。
[解]、整个原子的角动量看作每一个电子角动量矢量和，此外每一电子角动量又包括轨道运动和自旋。
2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1ˆˆ ˆ,ˆˆ ˆ,ˆ ˆˆ,ˆ ˆ ˆ,ˆ ˆ ˆs l j s l j s s S l l L j j J
(1)
整个体系的哈氏算符是：
S L H H ) (ˆ ˆ0
（此式中 r 是电子相对位矢）
将自旋轨道相互作用算符用角动量算符表示，由于：
S L Jˆ ˆ ˆ
S L S L S L S L Jˆ ˆ2ˆ ˆ)ˆ ˆ( )ˆ ˆ(ˆ2 2 2
)ˆ ˆ ˆ)( (21ˆ ˆ2 2 20S L J H H
(2) 原子的状态可以用（ZJ J Lˆ,ˆ,ˆ2 2）的共同本征函数ZJ J L , , 表示，将算符（2），运算于这个本征函数，可以求的能量贡献（修正量）
Z ZZ ZJ J L J J LJ J L J J LS S L L J J HS L J H H, ,2 2 2, , 0, ,2 2 20 , ,} ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ){ (21ˆ}}ˆ ˆ ˆ){ (21ˆ{ˆ
(3) 但当原子处在自旋的单重态时，
0 ,2 1 S S S 总自旋量子数 s=0，有从（1）式的关系看出
L l l s l s l j j J 2 1 2 2 1 1 2 1
因此 J=L，（3）式成为：
Z ZJ J L J J LH H, , 0 , ,ˆ ˆ
所以，轨道自旋的耦合作用对能量本征值没有影响，因0ˆH 不含 L Sˆ ˆ
[7]设两个自旋为21的粒子的相互作用为：
12) ( ) ( ) ( S r V r V r VT O
第一项为中心力，第二项为张量力的证明：
（1）
宇称л、总自旋2S、总角动量2ˆJ 及总的 z 向分角动量Jˆ均为守恒量，但2ˆL 和Sˆ不是守恒量。
（2）
在自旋单态下，张量力为零。
（解）题中张量力（本章中问题 13.P283）如下：
2222 122 2 1 112ˆ2) ( 6) () )( ( 3Srr Srr rS
(1) 但2 1r r r 。（前一公式的来源不在本题中讨论）
（1）
（a）宇称 ：体系的哈密顿算符包括两粒子的能量和势能
2222212126) (2ˆ2ˆˆSrr Sr V r Vp pHT O
(2) 按*§5．3（P。176）一体系若具有空间反射不交性，则其宇称是守恒的，即
0 ]ˆ, ˆ[ H
(3)
在本题的情形，这条件是成立的，注意，粒子的动能可能梯度表示。
(2)式用坐标显示为：
}ˆ2)] (ˆ[ 6){ ( ) () (21) (21ˆ222 122 12 1 2 122222222222122122121Sr rr r Sr r V r r Vz y xz y xHT O
(4) 当参考系发生空间反射时，
1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1, , , , , , r r r r z z z z y y y y x x x x 。
但2 1r r 不变，此外总的自旋角动量 S依赖与自旋坐标1 zs 和2 zs ，与空间坐标2 1 ,rr 无关，因而22 1)] ( [ , r r S S 也不随空间反射而变更，又因为
212212) ( x x 等，所以动能部分也不随反射而变化，所以（4）式整个不随反射变化，若 ) , , , (2 1 2 1 z zs s r r 是
任意函数，我们有：
ˆˆ ˆˆ H H
即
ˆ , 0 ]ˆ, ˆ[ H 是守恒量
（b）总自旋平方算符2ˆS ：
自旋和一切轨道运动的量都能对易，只需检验2ˆS 与 2) ( r S 的对易性：
) )( (ˆ ˆ2) )( (ˆ ˆ2) )( (ˆ ˆ2) (ˆ) (ˆ) (ˆ) (2 1 2 12 1 2 12 1 2 12 122 122 12 2x x z z S Sz z y y S Sy y x x S Sz z S y y S x x S r SX Zz yy xz y x 因 0 ]ˆ,ˆ[2XS S 等，又 0 ]ˆ,ˆ[2 2xS S 等，因此有：
0 ]ˆ,ˆ[2 H S
（6）
（c）总角动量分量ZJˆ ：
总角动量分量ZJˆ与轨道运动部分的诸力学算符相对易，这在曾书第六章中心力场和第四章§4.1 都有过讨论，只需证明ZJˆ与Hˆ的势能部分的对易性就足够。
又
z z z z z z zs s l l S L J2 1 2 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 只与角度有关，与相对矢径2 1r r r 无关，所以ZJˆ与一切与 r有关的算符对易
}ˆ,ˆ){ ( 2] ) ( ,ˆ[) (ˆ6}]ˆ2) ( 6){ (ˆ,ˆ[]ˆ) (ˆ,ˆ[]ˆ) (ˆ) (ˆ,ˆ[)] (ˆ,ˆ[ ]ˆ,ˆ[2222221212S J r Vr S Jrr VSrr Sr V JS r V JS r V r V Jr V J H JZ TZTT ZT ZT o ZZ Z
)] ( ,ˆ)[ ( ) )]( ( ,ˆ[ˆ) ( ) (ˆ) ( ) (ˆ) ( ) (ˆˆ) ( ) (ˆ] ) (ˆ[222 2 2r S J r S r S r S JJ r S r SJ r S r S J r S r S JJ r S r S J r S JZ ZZZ Z ZZ Z Z （7）
最后一式说明， ] ) ( ,ˆ[2r S J Z 归结为较简单的 )] ( ,ˆ[ r S J Z 的运算
) ](ˆ,ˆ[) ](ˆ,ˆ[ˆ] , [ˆ] , [ˆ] ,ˆ[)] () ( ) ( , [ )] ( ,ˆ[2 12 1 2 12 1 2 12 12 1 2 1x x S Sx x S S S z z LS y y L S x x Lz z Sy y S x x S S L r S Jy zx z z zy z x zzy x z z Z 再注意到：
] ,ˆ[ ] ,ˆ[] ,ˆ ˆ[ ] ,ˆ[2 2 1 12 1 2 1 2 1x l x lx x l l x x Lz zz z z
运用两个业已证明过的对易式（曾.第四章）
ix x l ] ˆ ,ˆ[
S i S Sˆ]ˆ,ˆ[
0ˆ) (ˆ) (ˆ) (ˆ) () ](ˆ,ˆ[ ) ](ˆ,ˆ[] ,ˆ[ˆ] ,ˆ[ˆ] ,ˆ[ˆ] ,ˆ[ )] ( ,ˆ[2 12 1 2 1 2 12 1 2 12 2 1 12 2 1 1 xy y xy z x zy z y zx z x z zS y y iS x x i S x x i S y y iy y S S x x S SS y l S y lS x l S x l r S J
(8)
将此结果代入（7）式，得到
0 ] ) ( ,ˆ[2 r S J z
所以最终得到：
0 ]ˆ,ˆ[ H J z
（zJˆ是守恒量
）
（9）
（d）总角动量平方2ˆJ
：
前一步骤出发，再计算2ˆzJ
与 ) ( r S 的对易关系
z z z zz z z z z zz z zJ r S J r S J JJ r S J r S J J r S J r S JJ r S r S J r S Jˆ)] ( ,ˆ[ )] ( ,ˆ[ˆˆ) (ˆ) (ˆ ˆ) (ˆ) (ˆˆ) ( ) (ˆ)] ( ,ˆ[2 22 2 2
（10）
现在将（8）代入（10），立即又有
0 )] ( ,ˆ[2 r S J z 我 们 在 （ c ）
一 小 题 中 计 算 )] ( ,ˆ[ r S J z 时 全 部 用 了 直 角 座 标 ， 因 此 座 标 2 2 2 1 1 1, z y x z y x 有轮换的对称，（10）式也是如此，因而应该也有下式：
, 0 )] ( ,ˆ[2 r S J x
0 )] ( ,ˆ[2 r S J y
(11) 将（10）和（11）的两式相加，得
0 )] ( ,ˆ[ )] ( ,ˆ ˆ ˆ[2 2 2 2 r S J r S J J Jz y x
(12)
从而也得到交换式
0 ]ˆ,ˆ[2 H J
（2ˆJ 是守恒量
）
（e）
S Lˆ,ˆ 2这两算符不能是守恒量，因为它们不和 ) ( r S 对易。
（2）最后证明，在双电子体系的单态中，张量力等于零。
设第一电子的态用 ) 1 ( ), 1 ( 表示，第二电子用 ) 2 ( ), 2 ( 表示，在单态的情形，体系总自旋的本征值 S=0，自旋波函数是反对称的，写作
2 / )} 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( {
(13) 在此态中求张量力势能算符的平均值 V ，这计算式只有一项
]}ˆ2) ( 6)[ ( { *22Srr Sr V VT
(14) 将此式分别计算
)} 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( {2)} )( () )( ( ) )( )}{( 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( {21) ( *2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 z zy y x xz zy y x x r S 在以上运 算 式 中 ，z y x 1 1 1ˆ , ˆ , ˆ 等 只 能 运 算 与 ， ) 1 ( ), 1 ( ； .......... ˆ 2x 而运算 于 ) 2 ( ), 2 ( ，再注意到
z z yy x xiiˆ , ˆ ; ˆ, ˆ ; ˆ , ˆ 前式成为：
0 )]} 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( )[ (] ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( )[ ()] 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 () 2 ( ) 1 ( )[ )}{( 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( {42 12 12 1 z zi i i i y yx x
又 0 ) 1 0 ( 0 * ) 1 ( * *2 S S S
（S 是总自旋量子数）
将以上两部分计算结果代入（14），知道 0 V 。
[8] 自旋为 s 的两个粒子所具有的，对称和反对称的自旋波函数各有几个？23,21 s s情况下，对称和反对称自旋态各有几个？ [解] 自旋为 s 指的是自旋角量子数是 s（它和轨道运动中的 l 相当），在轨道运动中，角量子数给定后（l）,角动量 z 分量的本征值 m 有 2l+1 种不同值：
l l l l m , ) 1 .........( , 0 , ,........ ) 1 ( ,
推广到自旋的情形若自旋自旋角量子数（不一定是 1/2，例如原子核的自旋）则自旋磁量子数有 2s+1 种值
s s m s ,.......
但 s 可以是整数，也可以是半整数。
自旋的不同态用sm 来区别，第一电子的自旋波记作 ) (1 z mss x 或 ) 1 (msx ，第二电子的自旋波函数记作 ) (2 z s ms 或 ) 2 (sm
）
是（ s s s s m ms s, 1 ,......... 1 , ,
中任意两个。
描写两电子体系的波函数是个别电子波函数的相乘积或其线性式，根据§8.4 的理论，要使体系的波函数 成为总自旋ZS Sˆ,ˆ 2的本征态， 只有三种形式的归一化波函数：
（1）
) 2 ( ) 1 (ms ms
计算 2s+1 种 （2）
)] 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( [21s m ms s m ms
这种波函数种数等于 2s+1 文字中选择不同文字的种数计有21)2s (2s种。
以上二类对称自旋波函数的总数目
n=(2s+1)+(2s+1)s=(2s+1)(s+1)
(3)
)] 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( [21s m ms s m ms
这种波函数还是反对称的，波函数总数目和（2）相同，计有21)2s (2s种。自旋角量子数s 指定时，可能的合成自旋波函数的总数目有：
21) (2s 1) (2s 1)s (2s 1 2s n
[9]证明， a i a 2 ] , [ ， a是与 对易的矢量算符。
（证明）
待证一式是矢量的对易式，应当分别对它的 x,y,z 分量进行计算：
a i a 2 ] , [ 的 x 分量式：
) ˆ ˆ ˆ ˆ ( 2 ] , [y z z y z z y y x x xa a i a a a
用矩阵式来证明：
x y z z y z yy zz yy zz yy x zz y xy x zz y xz y xy x zz y xy x zz z y y x x xa i a a iiia a ia i ai a aiia aa iaia a aa ia aia a aa ia aa ia aia a aa ia aia a aa a a) ( 2 } ˆ ˆ ˆ ˆ { 2001 00 1222 22 20 11 00 11 0] , [ 关于z ya ˆ , ˆ 也照此方式计算，因z y x ˆ ˆ ˆ 无轮换对称，应分别计算其结果。
另一种证明方式是用矢量式矩阵：
k j i ij i i k
[10]证明：（1）
Sin i Cos ejj iˆˆ
（ z y, x, j ）
（2）
Sin i Cos e iˆˆ 其中
ˆ
矢量与σ对易, θ表示θ方向的单位矢量。
（证）
1 ˆ2j
(j=x,y,z)
1 ˆ ˆ ˆ4 2 0 j j j
(1)
j j j j ˆ ˆ ˆ ˆ5 3
（1）
sin ˆ cosˆ }! 5 ! 3{ˆ! 4 ! 21) ˆ (5 3 4 2ˆjjnnjj iii Inie ｝ ｛！
（2）
nninie!) (
z y xy x zz z y y x xii ˆ ˆ ˆ
Iiiiiz y xz y xz y xy x zz y xy x z 22 2 22 2 22001 1) ( ) ( 22 ] ) ( ) ( ) [() ( ) () ( ) (2) ˆ ˆ )( ( ) ˆ ˆ )( ( ) ˆ ˆ ( 2 ) ( 2ˆ ) ( 2 ) ˆ ˆ ( 2 ) ˆ ˆ )( ( ) ˆ ˆ )( (] , [ a ii k a a j a a i a aj a i a i a k a i k a j ai a k a i k a j a j a i aia i a j i i a i a j i i a i a k a j i ia j i i a i a k a i a j i i a i a j i ik j i ij i i ka ia aia a aa ia aia a ak j i ij i i kax y y x z x x z y z z yx y z x y zz x y z x yy x y x y x xx y x y x y xz y xy x zz y xy x z
因此 的性质与 j相同：
n n 2 2 4 4 2 2) ( ) ( , ) (
) ( ) ( ) ( ) (2 1 2 2 3 n n 代入（2）式即得到待证明的结果。
[11]证明 A i A A A A ) ( ) ( ,
A是与 对易的任何矢量算符。
（证明）这是矢量关系式，可先证明 x 分量
) ˆˆˆˆ(ˆ)ˆˆˆˆˆˆ ( ˆy z z y x z z y y x x xA A i A A A A
x z y y x xx z z x y y x x xA A i A i AA A A Aˆ ˆˆˆˆˆˆ ˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ2 该式左方 =该式右方。
又这个证明对 x,y,z 有轮换性，故可不需重负对 y,z 运算。又 等式最右方。
) (ˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆˆˆ )ˆˆˆˆˆˆ (ˆ2z y y ...