第 二 章 基 本 知 识 小 结 ⒈基本概念
22) (dtr ddtv dadtr dv t r r
（向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件：0 0 0, , v v r r t t ）
⒉直角坐标系
, ,ˆ ˆ ˆ2 2 2z y x r k z j y i x r r与 x,y,z 轴夹角的余弦分别为 r z r y r x / , / , / . v v v v v k v j v i v vz y x z y x , ,ˆ ˆ ˆ2 2 2 与 x,y,z轴夹角的余弦分别为 v v v v v vz y x/ , / , / . a a a a a k a j a i a az y x z y x , ,ˆ ˆ ˆ2 2 2 与 x,y,z轴夹角的余弦分别为 . / , / , / a a a a a az y x ⒊ 自 然 坐 标 系
| | ,, ˆ); ( v vdtdsv v v s r r ⒋极坐标系
2 2,ˆˆ, ˆ v v v v r v v r rr r ⒌相对运动
对于两个相对平动的参考系 " ,0"t t r r r （时空变换）
0" v v v
（速度变换）
0" a a a
（加速度变换）
若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有：
2.1.1 质点运动学方程为：
j i t rˆ5ˆ) 2 3 ( ⑴
j t i t rˆ) 1 4 (ˆ) 3 2 ( ⑵ ,求质点轨迹并用图表示. 解：⑴ , 5 , 2 3 y t x轨 迹 方 程 为 5 y 的 直线. ⑵ 1 4 , 3 2 t y t x ， 消 去 参 数 t 得 轨 迹 方 程0 5 3 4 y x
y
y"
V
o
x
o"
x"
z
z" x y 5 x y 5/5/
2.1.2 质点运动学方程为 k j e i e rt tˆ2ˆ ˆ2 2 .⑴求质点轨迹；⑵求自 t= -1 到 t=1 质点的位移。
解 ：
⑴ 由 运 动 学 方 程 可 知 ：1 , 2 , ,2 2 xy z e y e xt t，所以，质点是在 z=2 平面内的第一像限的一条双曲线上运动。
⑵ j e e i e e r r rˆ) (ˆ) ( ) 1 ( ) 1 (2 2 2 2 j iˆ2537 . 7ˆ2537 . 7 。所以，位移大小：
2.1.3质点运动学方程为 j t i t rˆ) 3 2 (ˆ42 . ⑴求质点轨迹；⑵求质点自 t=0 至 t=1 的位移. 解：⑴ 3 2 , 42 t y t x ，消去参数 t 得：2) 3 ( y x
⑵ j i j j i r r rˆ2ˆ4ˆ3ˆ5ˆ4 ) 0 ( ) 1 ( 2.2.1 雷 达 站 于 某 瞬 时 测 得 飞 机 位 置 为 7 . 33 , 41001 1 m R
0.75s 后测得 3 . 29 , 42402 2 m R ，R 1 ,R 2 均在铅直面内，求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（α角）
解：tRtR Rv v 1 2，在图示的矢量三角形中，应用余弦定理，可求得：
据正弦定理：
) 180 sin( / ) sin( /1 2 2 1 R R
2.2.2 一圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为 y=x2 /200 (长度：毫米)。第一次观察到圆柱体在 x=249mm处，经过时间 2 ms 后，圆柱体移到 x=234mm 处。求圆柱体瞬时速度的近似值。
解：由于Δt 很小，所以，trv v ， 其 中 ，15 249 234 ,ˆ ˆ, 21 2 x x x j y i x r ms t j i j t y i t x vˆ1 . 18ˆ5 . 7ˆ) / (ˆ) / ( 。其大小 ms mm v / 6 . 19 ) 1 . 18 ( ) 5 . 7 ( | |2 2 ；与 x 轴夹角 y x 0 x xR θ θR 1 R 2 Δθθα
2.2.3 一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者17m；另一人在广州听同一演奏的转播，广州离北京2320km，收听者离收音机 2m，问谁先听到声音？声速为 340m/s，电磁波传播的速率为 3.0×108 m/s. 解：声音传播情况如图所示， 北京人听到演奏声音所需时间：
广州人听到演奏声音所需时间：
2.2.5 火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90km/h 速率行驶，3min 后以70km/h 速率向北偏西 30°方向行驶，求列车的平均加速度。
解：tvtv va 1 2 对矢量三角形应用余弦定理：
2/ 07 . 060 369 . 12s mtva ， 由 正 弦 定 理 ：30 sin sin2v v 2.2.6 ⑴ k t j t R i t R rˆ2ˆsinˆcos ， R 为正常数，求 t=0, π /2 时 的 速 度 和 加 速 度 。
⑵k t j t i t rˆ6ˆ5 . 4ˆ33 2 ，求 t=0,1 时的速度和加速度（写出正交分解式）。
解：⑴ k j t R i t R dt r d vˆ2ˆcosˆsin / j R a k i R vi R a k j R v j t R i t R dt v d at tt tˆ| ,ˆ2ˆ|,ˆ| ,ˆ2ˆ| .ˆsinˆcos /2 / 2 /0 0
⑵k t j dt v d a k t j t i dt r d vˆ36ˆ9 / ,ˆ18ˆ9ˆ3 /2 ； 2.3.1 图中 a、b 和c 表示质点沿直线运动三种不同情况下的 x-t17m 340m/2320km,3 ×340m/α
v 2 30°
v 1 = 90km/v 2 = 70km/Δv
西 北 10 20 30 10 20 30° 45° 120° -10 -20 0 x(m) t(a b c
图像，试说明每种运动的特点（即速度，计时起点时质点的位置坐标，质点位于坐标原点的时刻）
解：质点直线运动的速度 dt dx v / ，在 x-t 图像中为曲线斜率。由于三种图像都是直线，因此三种运动都是匀速直线运动，设直线与 x 轴正向夹角为α，则速度 t x tg v /
对于 a 种运动：
对于 b 种运动：
对于 c 种运动：
2.3.2 质 点 直 线 运 动 的 运 动 学 方 程 为x=acost,a 为正常数，求质点速度和加速度，并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）
解 ：t a dt dv a t a dt dx v t a xx x xcos / , sin / , cos
显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围：
2.3.3 跳伞运动员的速度为qtqteev11 ，v 铅直向下，β,q 为正常量，求其加速度，讨论时间足够长时（即 t→∞）速度、加速度的变化趋势。
解：
因为 v>0， a >0，所以，跳伞员做加速直线运动，但当 t→∞时，v→β， a →0，说明经过较长时间后，跳伞员将做匀速直线运动。
2.3.4 直线运行的高速列车在电子计算机控制下减速进站。列车原运行速率为 v 0 =180km/h ，其速率变化规律如图所示。求列车行至 x=1.5km 时的加速度。
v(km/ v=v0 cosx(km) 1.5 v 0
解：
. sin / ), 5 / cos(5 0 5 0x v dx dv x v v
dxdvdtdxdxdvv a x v 5220 101sin ， 将v 0 =180km/h,x=1.5km 代入 2.3.5 在水平桌面上放置 A、B 两物体，用一根不可伸长的绳索按图示的装置把它们连接起来，C 点与桌面固定，已知物体 A 的加速度 a A =0.5g，求物体 B的加速度。
解：设整个绳长为 L，取图示坐标 o-x，则3x A +(-4x B ) = L 对时间求两次导数，3 a A =4 a B ，所以 a B
= 3 a A /4=3×0.5g/4 = 3g/8 2.3.6 质点沿直线的运动学方程为 x=10t+3t2 . ⑴将坐标原点沿 o-x 正方向移动 2m，运动学方程如何？初速度有无变化？⑵将计时起点前移 1s，运动学方程如何？初始坐标和初速度发生怎样的变化？加速度变不变？ 解：x=10t+3t2 ，v=dx/dt=10+6t， a =dv/dt=6，t=0 时，x=0,v=10 ⑴将坐标原点向x轴正向移动2m，即令x"=x-2，x=x"+2，则运动学方程为：x"=10t+3t2 -2，∵v"=dx"/dt=10+6t，∴v"=v ⑵将计时起点前移 1s，即令 t"=t+1，t=t"-1，则运动学方程变为：x = 10(t"-1) + 3(t"-1)2
= 10t" – 10 + 3t"2
- 6t" + 3 = 4t" + 3t" 2
– 7 v"=dx/dt"=4+6t"，t"=0 时，x= -7，v"=4，加速度 a 不变。
2.4.1 质点从坐标原点出发时开始计时，沿 x轴运动，其加速度 a x
= 2t (cms-2 )，求在下列两种A B a A
0 x
情况下质点的运动学方程，出发后 6s 时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。⑴初速度 v 0 =0；⑵初速度 v 0 的大小为 9cm/s，方向与加速度方向相反。
解：200, 2 , 20t v v tdt dv tdt dt a dvxtvvx x xx ⑴ cm x t x t v vx72 6 ) 6 ( ; , 023133120 时，
⑵ t t x t v vx9 , 9 933120 时，
令 v x =0，由速度表达式可求出对应时刻 t=3，由于 3 秒前质点沿 x 轴反向运动，3 秒后质点沿 x 轴正向运动，所以路程：
2.4.2 质点直线运动瞬时速度的变化规律为：v x
= -3 sint，求 t 1 =3 至 t 2 =5 时间内的位移。
解： 53sin 3 , sin 353tdt dx tdt dt v dxxxx 2.4.3 一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为 a x = -Aω2 cosωt. 在t=0 时 ，v x =0,x=A ，其中 A,ω 均为正常数。求此质点的运动学方程。
解 ：t d t A dv t A dt dv ax x x cos , cos /2 2 ， t v txt td A tdt A dvx0 0 02) ( cos cos t A x t A t A A xt td A tdt A dxtdt A dx dt dx t A vtt t xAx cos ), 1 (cos | cos) ( sin sinsin , / sin00 0 2.4.4 飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动，刚着陆时，t=0 时速度为 v 0 ，且坐标 x=0，假设其加速度为 a x
= - bv x2 ，b=常量，求飞机速度和坐标随时间的变化规律。
解 ：bt v dt b dv v dt bv dt a dvxxvv xtvvx x x x x 00| , ,102 2
2.4.5 在 195m 长的坡道上，一人骑自行车以18km/h 的速度和-20cm/s2 的加速度上坡，另一自行车同时以 5.4km/h 的初速度和 0.2m/s2 的加速度下坡，问：⑴经多长时间两人相遇？⑵两人相遇时各走过多长的路程？ 解：以上坡者出发点为原点沿其前进方向建立坐标 o-x，用脚标 1 表示上坡者，用脚标 2 表示下坡者。
两 人 的 加 速 度 实 际 上 是 相 同 的 ：22 1/ 2 . 0 s m a a
根据匀变速直线运动公式：
⑴令 x 1 =x 2 ，可求得相遇时间：5t=195-1.5t, t=195/6.5=30s ⑵对于上坡者，在相遇期间做的不一定是单方向直线运动，据上坡者的速度表达式：v 1 =5-0.2t，令 v 1 =0，求得对应时刻 t=25s，所以，上坡者在 25s前是在上坡，但 25s 后却再下坡。因此，上坡者在30s 内走过的路程：
对于下坡者，因为做单方向直线运动，所以 30s内走过的路程：
2.4.6 站台上送行的人，在火车开动时站在第一节车厢的最前面，火车开动后经过Δt=24s，火车第一节车厢的末尾从此人的前面通过，问第七节车厢驶过他面前需要多长时间?火车做匀加速运动。
解：设每节车厢长为 L，以地为参考系，以人所在点为原点建立图示坐标 o-x，以第一节车厢的前x 0 19aavv2 1 0 x
端点为研究对象，t=0 时，前端点的坐标 x=0，速度v=0，据匀加速运动公式：
221at x ，令 x=L，求得：2 2242) (2 LtLa ，∴2 224 / Lt x
令 x=6L，可求得第 6 节车厢尾端通过人时所需时间 t 6 ：
令 x=7L，可求得第 7 节车厢尾端通过人时所需时间 t 7 ：
因此，第 7 节车厢通过人所需时间：
2.4.7 在同一铅直线上相隔 h 的两点以同样速率 v 0 上抛二石子，但在高处的石子早 t 0 秒被抛出，求此二石子何时何处相遇？ 解：以地为参考系，建立图示坐标 o-y 。据题意，设 t=0 时，上面石子坐标 y 1 =h ,速度 v 1 =v 0 ； t=t 0 时，下面石子坐标 y 2 =0 ， v 2 =v 0 解法 1：根据匀变速直线运动的规律，可知 解法 2：可根据速度、加速度的导数定义和初始条件，通过积分得到⑴、⑵，然后求解。
2.4.8 电梯以 1.0m/s 的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板 0.50m 高，问当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离？ 解：以电梯为参考系，小孩相对电梯做竖直上抛运动，他从起跳到再次落到地板所需时间，是他从最高处自由下落到地板所需时间的 2 倍。由自由落体运动公式：221gt h ，可求得从最高出落到地板所需时间：
s h g t 32 . 0 5 . 0 / 8 . 9 2 / 2 ，所以小孩做竖直上抛所需时间为 0.64s，在此时间内电梯对地下落距离：
L = 1.0×0.64 = 0.64 m y h 0
2.5.1 质点在 o-xy 平面内运动,其加速度为j t i t aˆsinˆcos ，位置和速度的初始条件为：t=0时， i r j vˆ,ˆ ，求质点的运动学方程并画出轨迹。
解：
j t i t j t i t i rtdt j tdt i r d dt j t i t dt v r dj t i t j t i t j vtdt j tdt i v d dt j t i t dt a v dt t rit t vjˆsinˆcosˆsinˆ) 1 (cosˆcosˆsinˆ, )ˆcosˆsin (ˆcosˆsinˆ) 1 (cosˆsinˆsinˆcosˆ, )ˆsinˆcos (0 0ˆ0 0ˆ 2.5.2 在同一竖直面内的同一水平线上 A 、 B 两点分别以 30o、60o 为发射角同时抛出两球，欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点，求 A 、 B 两点间的距离。已知小球在 A 点的发射速度 v A =9.8 米/秒。
解：以 A 点为原点建立图示坐标系，取发射时刻为计时起点，两点间距离为 S，初始条件如图所示。
据斜抛规律有：
满足题中条件，在最高点相遇，必有v Ay =v By =0,x A =x B
2.5.3 迫击炮的发射角为 60°发射速率 150m/s，炮弹击中倾角为30°的山坡上的目标，发射点正在山脚，求弹着点到发射点的距离 OA. 解：以发射点为原点，建立图示坐标 o-x，斜抛物体的轨迹方程为（见教材）：
本题，α=60°，v 0 =150m/s，A 点坐标x A ,y A 应满足轨迹方程，所以：
22022202360 cos 260A A A A Axvgx xvgtg x y
① 另 外 ， 根 据 图 中 几 何 关 系 ， 可 知 ：OA OA x A2330 cos
Y
v AO
v BO
30o
60o
A
S
B
x x y x y A 60° 30° v 0
OA OA y A2130 sin ，代入①中，有：
2.5.4 轰炸机沿与铅直方向成 53°俯冲时，在763m 的高度投放炸弹，炸弹在离开飞机 5.0s 时击中目标，不计空气阻力：⑴轰炸机的速率是多少？⑵炸弹在飞行中通过的水平距离是多少？⑶炸弹击中目标前一瞬间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少？ 解：以投放点为原点，建立图示坐标 o-xy,设炸弹初速度（即轰炸机速度）为 v 0 . 由于炸弹在飞行过程中的加速度 j g aˆ，所以炸弹在 x 方向做匀速直线运动，在 y 方向做竖直下抛运动，有 ⑴令 t=5.0s，y=763m，由④可求得轰炸机的速率：
⑵将 v 0 代入①中，可求得炸弹击中目标时速度的水平分量：
令 t=5，由②可求得炸弹击中目标时速度的竖直分量：
2.5.5 雷达监测员正在监视一越来越近的抛射体，在某一时刻，他给出这样的信息：⑴抛射体达到最大高度且正以速率 v 沿水平方向运动；⑵观测员到抛射体的直线距离是 l ；⑶观测员观测抛体的视线与水平方向成θ角。问：⑴抛射体命中点到观测者的距离 D 等于多少？⑵何种情况下抛体飞越观察员的头顶以后才命中目标？何种情况下抛体在未达到观察员以前就命中目标？ 解：以抛体所达最大高度处为计时起点和坐标原点，建立图示坐标 o-xy，抛体以速度 v 做平抛运x y 0 v 0
53x y o θ v l 命中点 观测者 x 1
x 2
动. 设命中时间为 t 1 ，由自由落体公式：
命中点 x 坐标为：
g l v vt x / sin 21 1 ，由图中几何关系，观测者的 x 坐标：
cos2l x 。所以，观测者与命中点间的距离：
当 x 1 <x 2 ，即 sin 2cos , cos / sin 2lgl v l g l v 时，则抛体在未达到观察员前即命中目标。
当 x 1 >x 2 ，即 sin 2coslgl v 时，则抛体在飞越观察员后才命中目标。
2.6.1 列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围内，其运动学方程为S=80t-t2 （m,s），t=0 时，列车在图中 O 点，此圆弧形轨道的半径 r=1500m，求列车驶过 O 点以后前进至 1200m 处的速率及加速度。
解 ：
S=80t-t2
① v=dS/dt=80-2t ② 令 S=1200，由①可求得对应时间：
将 t=60 代入②中，v=-40，不合题意，舍去；将 t=20 代入②中，v=40m/s，此即列车前进到 1200m处的速率。
2.6.2 火车以 200 米/小时的速度驶入圆形轨道，其半径为 300 米。司机一进入圆弧形轨道立即减速，减速度为 2g。求火车在何处的加速度最大？最大加速度是多少？ 解：沿火车运动的圆形轨道建立弧坐标 o-s ， t=0时， s = 0 , v=v 0 =200km/h=55.56m/s 。据题意 a τ = -2g ，v=v 0 +a τ t=v 0 -2g t ， a n =v2 /R=(v0 –2gt)2 /R 。
∴a=(aτ2 +an2 ) 1/2 =[4g 2 +(v0 –2gt)4 /R 2 ] 1/2 ，显然， t=0时， a东 北 O S τ a τ a n a
α
v
最大， 2 2402max/ 1 . 22 / 4 s m R v g a
2.6.3 斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道上运动，当斗车达到图中所示位置时，轨道曲率半径为 150m，斗车速率为 50km/h，切向加速度 a τ=0.4g，求斗车的加速度。
解：2/ 92 . 3 8 . 9 4 . 0 4 . 0 s m g a 加速度 a与切向单位矢量 ˆ 夹角：
2.8.1 飞机在某高度的水平面上飞行，机身的方向是自东北向西南，与正西夹 15o 角，风以100km/h 的速率自西南向东北方向吹来，与正南夹45o 角，结果飞机向正西方向运动，求飞机相对于
B
120m
C
B
v
u
L
v
ω 1
u
α ω 2
A
A 第一次渡河矢量图
第二次渡河矢量图 n n
τ
a a
30°
风的速度及相对于地面的速度。
解：风地 机风 机地v v v ，由矢量图 可 知 ， 15 sin 135 sin 30 sin风地 机风 机地v v v，其中，v 风地 =100km/h=27.78m/s，∴可求得：
2.8.3 一卡车在平直路面上以恒速度 30 米/秒行驶，在此车上射出一个抛体，要求在车前进 60米时，抛体仍落回到车上原抛出点，问抛体射出时相对于卡车的初速度的大小和方向，空气阻力不计。
解：以卡车为参考系，设抛体初速为 v 0 ，由于要落回原抛出点，故方向只能竖直向上，即抛体相对车只能作竖直上抛运动。
取向上方向为正，抛体相对车任意时刻速度 v = v 0 - g t
⑴ 由题意，抛体落回原地所需时间 t = 60/30 = 2(s) ，落到车上时的速度
v = - v 0
，把数值代入⑴中，可求得 v 0
= 9.8 m/s . 2.8.4 河的两岸互相平行，一船由 A 点朝与岸垂直的方向匀速驶去，经 10min 到达对岸 C 点。若船从 A 点出发仍按第一次渡河速率不变但垂直地到达彼岸的 B 点，需要 12.5min。已知 BC=120m. 求：⑴河宽 L；⑵第二次渡河时船的速度 u；⑶水流速度v. 解：以船为运动质点，水为动系，岸为静系，由相对运动公式
由 第 一 次 渡 河 矢 量 图 可 知 ：v=BC/t 1 =120/600=0.2m/s,
⑴ u = L / t 1
⑵,
L = u t 1
⑶. 由第二次渡河矢量图可知：
ω 2
=
L / t 2
⑷，
cosα= ω 2 / u
⑸,
v = u 北 东 45° 15° vvv
sinα
⑹. 把⑵、⑷代入⑸，求得 cosα=t 1 /t 2 =600/750=4/5,
sin α =(1-cos2α )1/2 =3/5
⑺ 把⑴、⑺代入⑹，求得 u =
0.2×5/3 = 1/3 (m/s). 再把 u 的数值代入⑶，求得 L = 600/3 = 200(m). 答：河宽 200 米，水流速度 0.2 米/秒；第二次渡河时，船对水的速度是 1/3 米，与河岸垂直方向所成角度α=arccos(4/5)=36o52’.
2.8.5 圆形公路与沿半径方向的东西向公路相交如图，某瞬时汽车甲向东以 20km/h 的速率行驶，汽车乙在θ=30°的位置向东北方向以速率20km/h 行驶，求此瞬时甲车相对乙车的速度。
解 ：
由 相 对 运 动 公 式 ：2 12 1v v v ， 2 1 12v v v ，显然矢量三角形为等边三角形，所以，v 12 =20km/h，方向向东偏南 60° 第三章基本知识小结
⒈牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。
矢量式：22dtr dmdtv dm a m F
分 量 式 ：（ 弧 坐 标 ）（ 直 角 坐 标 ） 2,, ,vm ma Fdtdvm ma Fma F ma F ma Fn nz z y y x x ⒉动量定理适用于惯性系、质点、质点系。
导数形式：dtp dF
微分形式：
p d dt F
积分形式：
p dt F I ) (
（注意分量式的运用）
⒊动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。
若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为v 1 v 2 v 12 v 1 30°
零，则质点或质点系的动量保持不变。即
（注意分量式的运用）
⒋在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。
在直线加速参考系中：0*a m f
在转动参考系中：
" 2 ,*2*mv f r m fk c ⒌质心和质心运动定理 ⑴ i i c i i c i i ca m a m v m v m r m r m ⑵ ca m F （注意分量式的运用）
3.4.1
质量为 2kg 的质点的运动学方程为
j t t i t rˆ) 1 3 3 (ˆ) 1 6 (2 2 （单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。
解：∵ j i dt r d aˆ6ˆ12 /2 2 , j i a m Fˆ12ˆ24 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。
F=(242 +12 2 ) 1/2 =125 N，力与 x 轴之间夹角为：
3.4.2
质量为 m 的质点在 o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为：
j t b i t a rˆsinˆcos ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。
证 明 ：
∵r j t b i t a dt r d a 2 2 2 2)ˆsinˆcos ( /
r m a m F 2 , ∴作用于质点的合力总指向原点。
3.4.3
在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷粒，一方面逐出秸杆，筛面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸杆逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为 0.4，问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动？ 解：以地为参考系，设谷物的质量为 m，所受到
的最大静摩擦力为 mg fo ，谷物能获得的最大加速度为
2/ 92 . 3 8 . 9 4 . 0 / s m g m f ao
∴筛面水平方向的加速度至少等于 3.92 米/秒2 ，才能使谷物与筛面发生相对运动。
μ 1
μ 2
3.4.3 题图
3.4.4 题图 3.4.4
桌面上叠放着两块木板，质量各为 m 1 ,m 2 ,如图所示，m 2 和桌面间的摩擦系数为μ 2 ，m 1 和 m 2 间的摩擦系数为μ 1， 问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。
解：以地为参考系，隔离 m 1 、m 2 ，其受力与运动情况如图所示，
其中，N 1 "=N 1 ,f 1 "=f 1 =μ 1 N 1 ,f 2 =μ2 N 2 ，选图示坐标系 o-xy，对 m 1 ,m 2分别应用牛顿二定律，有 002 1 2 2 2 2 2 1 11 1 1 1 1 1 g m N N a m N N Fg m N a m N
解方程 组 ， 得 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1/m g m g m g m F a g a
要把木板从下面抽出来，必须满足1 2a a ，即 3.4.5
质量为m 2 的斜面可在光滑的水平面上滑动，斜面倾角为α,质量为 m 1 的运动员与斜面之间亦无摩擦，求运动员相对于斜面的加速度及其对斜面的压力。
解：
以相对地面向右作加速直线运动的斜面为参m 2
mF
m 1 g f 1 N 1 a 1 aN N 1m 2 g F f 1 f 2 x y m 1 m 2 α
y Na x N "=N αm g αxN af*=mym g α
考系（非惯性系，设斜面相对地的加速度为 a 2 ），取m 1 为研究对象，其受力及运动情况如左图所示，其中 N 1 为斜面对人的支撑力，f* 为惯性力，a"即人对斜面的加速度，方向显然沿斜面向下，选如图所示的坐标系 o"-x"y",应用牛顿第二定律建立方程：
再以地为参考系，取 m 2 为研究对象，其受力及运动情况如右图所示，选图示坐标 o-xy,应用牛顿第二定律建立方程：
) 4 ( 0 cos) 3 ( sin1 2 22 2 1N g m Na m N （1）、（2）、（3）、（ 4 ）
联 立 ， 即 可 求 得 ：gm mm ma gm mm mN21 22 121 22 11sinsin ) ("sincos 3.4.6 在图示的装置中两物体的质量各为 m 1 ,m 2 ，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力 F 的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。
解：以地为参考系，隔离 m 1 ,m 2 ，受力及运动情况如图示，其中：f 1 =μN 1 =μm 1 g，f 2 =μN 2 =μ(N 1 +m 2 g)=μ(m 1 +m 2 )g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律：
①+②可求得：
gm mg m Fa 2 112 将 a 代入①中，可求得：2 11 1) 2 (m mg m F mT 3.4.7 在图示的装置中，物 体 A,B,C 的 质 量 各 为m 1 ,m 2 ,m 3 ，且两两不相等. 若物体 A,B 与桌面间的摩m 1
m 2
F f 1 N 1 m 1 g T
a
F
N 2 m 2 g T
a
N 1 f 1 f 2 C A B T f 1 N 1
m 1 g a 1 T f 2 N 2
m 2 g a 2 T" m 3 g a 3
擦系数为μ，求三个物体的加速度及绳内的张力，不计绳和滑轮质量，不计轴承摩擦，绳不可伸长。
解：以地为参考系，隔离 A,B,C，受力及运动情况如图示，其中：f 1 =μN 1 =μm 1 g，f 2 =μN 2 =μm 2 g，T"=2T，由于A的位移加B的位移除2等于C的位移，所以（ a 1 + a 2 ）/2= a 3 .
对 A,B,C 分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律：
①,②,③联立，可求得：
3.4.8 天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为 m 1 ,m 2 的物体（m 1 ≠m 2 ）,天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。
解：隔离 m 1 ,m 2 及定滑轮，受力及运动情况如图示，应用牛顿第二定律：
" 2 " "2 2 1 1T T a m T g m a m g m T ② ①
由①②可求得：
所以，天平右端的总重量应该等于 T，天平才能保持平衡。
棒球质量为 0.14kg，用棒击棒球的力随时间的变化如图所示，设棒球被击前后速度增量大小为 70m/s，求力的最大值，打击时，不计重力。
解：由 F—t 图可知：
[ 斜 截 式 方 程 y=kx+b ， 两 点 式 方 程 (y-y 1 )/(x-x 1 )=(y 2 -y 1 )/(x 2 -x 1 )] 由 动 量 定 理 ： 08 . 005 . 003 . 005 . 0005 . 008 . 00) 08 . 0 (max maxdt t tdt Fdt v mF F m m 2 T" m 1 g a
T" m 2 g a
T T" T" 0.0 0.0 t(sF(N) F max 0
可求得 F max = 245N
沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间变化如图所示，火箭质量为 2kg，t=0 时处于静止，求火箭发射后的最大速率和最大高度（注意，推力大于重力时才启动）。
解：根据推力 F-t 图像，可知 F=4.9t （t≤20）,令 F=mg，即 4.9t=2×9.8，t=4s 因此，火箭发射可分为三个阶段：t=0—4s 为第一阶段，由于推力小于重力，火箭静止，v=0,y=0；t=4—20s 为第二阶段，火箭作变加速直线运动，设 t=20s 时，y = y 1 ，v = v max ；t≥20s 为第三阶段，火箭只受重力作用，作竖直上抛运动，设达最大高度时的坐标 y=y 2 . 第二阶段的动力学方程为：F- mg = m dv/dt 第三阶段运动学方程 令 v=0,由（1）求得达最大高度 y 2 时所用时间（t-20）=32 ， 代 入 （ 2 ）
中 ， 得 y 2 -y 1 =5030
y 2 =y max =5030+1672=6702(m) 抛物线形弯管的表面光滑，沿铅直轴以匀角速率转动，抛物线方程为 y= a x2 ， a为正常数，小环套于弯管上。⑴弯管角速度多大，小环可在管上任一位置相对弯管静止？⑵若为圆形光滑弯管，情况如何？ 解：以固定底座为参考系，设弯管的角速度为ω，小环受力及运动情况如图示：α为小环处切线与 x轴夹角，压力 N 与切线垂直，加速度大小 a=ω2 x，t(F(N98 20 x y mg N a α ω Y Y 2
Y 1
方向垂直指向 y 轴。
在图示坐标下应用牛顿二定律的分量式：
①/②得：tgα=ω2 x/g
③；由数学知识：tgα=dy/dx=2 a x； 所以， ag ag g x ax 2 , 2 , / 22 2
若弯管为半径为 R 的圆形，圆方程为：x2
+ (R-y)2
= R2， 即2 2 2 / 1 2 2212 / 1 2 2 2 / 1 2 2 2 2 2/ ) 2 ( ) ( /) ( , ) ( , ) (x R x x x R dx dy tgx R R y x R y R x R y R 代入③中，得：2 2 2 2 2/ , / / x R g g x x R x
北京设有供实验用的高速列车环形铁路，回转半径为 9km，将要建设的京沪列车时速 250km/h，若在环路上作此项列车实验且欲使铁轨不受侧压力，外轨应比内轨高多少？设轨距 1.435m. 解：以地为参考系，把车厢视为质点，受力及运动情况如图示：车厢速度 v=250km/h=69.4m/s，加速度 a =v2 /R；设轨矩为l ，外轨比内轨高 h, 有l h l h l / sin , / cos2 2
选图示坐标 o-xy，对车箱应用牛顿第二定律：
② ①， R mv l Nh N mg l h l N N / / sin / cos2 2 2
①/②得：2 2 2/ / v gR h h l ，两边平方并整理，可求得 h：
汽车质量为 1.2×10kN，在半径为 100m 的水平圆形弯道上行驶，公路内外侧倾斜 15°，沿公路取自然坐标，汽车运动学方程为 s=0.5t3 +20t (m)，自t=5s 开始匀速运动，问公路面作用于汽车与前进方向垂直的摩擦力是由公路内侧指向外侧还是由外侧直向内侧？ 解：以地为参考系，把汽车视为质点，受力及x h l mg N y a
α α
运动情况如图示：
v=ds/dt=1.5t2 +20，v| t=5 =1.5×52 +20=57.5m/s，a n =v2 /R=57.5 2 /100=33 设摩擦力 f 方向指向外侧，取图示坐标 o-xy，应用牛顿第二定律：
② / ① 得 ：) s i n /( ) cos ( f mg f ma tgn
0 , 0 43 . 30 33 15 8 . 9 f tg a gtgn ，说明摩擦力方向与我们事先假设方向相反，指向内侧。
速度选择器原理如图，在平行板电容器间有匀强电场 j E Eˆ，又有与之垂直的匀强磁场 k B Bˆ。现有带电粒子以速度 i v vˆ进入场中，问具有何种速度的粒子方能保持沿 x 轴运动？此装置用于选出具有特定速度的粒子，并用量纲法则检验计算结果。
解：带电粒子在场中受两个力的作用：电场力F 1 =qE，方向向下；磁场力 F 2 =qvB，方向向上 粒 子 若 沿 x 轴 匀 速 运 动 ， 据 牛 顿 定 律 ：B E v qvB qE / , 0 11 11 11dim , dim MTM NAT NABEMT v
带电粒子束经狭缝 S 1 ,S 2 之选择，然后进入速度选择器（习题），其中电场强度和磁感应强度各为 E和 B. 具有“合格”速度的粒子再进入与速度垂直的磁场 B 0 中，并开始做圆周运动，经半周后打在荧光屏上.试证明粒子质量为：m=qBB 0 r/E，r 和 q分别表示轨道半径和粒子电荷。
解：由题可知，通过速度选择器的粒子的速度是 v=E/B，该粒子在 B 0 磁场中受到洛仑兹力的作用y α x α = 15α f N mg a n × × × × × × × × v + E B x y F 2 =qvF 1 =qv E B s ssB 0 r
做匀速圆周运动，其向心加速度为 a n =v2 /r，由牛顿第二定律：
某公司欲开设太空旅馆。其设计为用 32m 长的绳联结质量相等的两客舱，问两客舱围绕两舱中点转动的角速度多大，可使客舱感到和在地面上那样受重力作用，而没有“失重”的感觉。
解：
s rad r g r m mg / 78 . 0 16 / 8 . 9 / ,2
圆柱 A 重 500N，半径 R A =0.30m，圆柱 B 重1000N,半径 R B =0.50m，都放置在宽度 L=1.20m 的槽内，各接触点都是光滑的，求 A、B 间的压力及 A、B 柱与槽壁和槽底间的压力。
解：隔离 A、B,其受力情况如图所示，选图示坐标，运用质点平衡方程，有 ) 4 ( 0 cos) 3 ( 0 sin) 2 ( 0 cos ") (! 0 sing m NN NN g m NN NA ABAB AAB B BB AB
通 过 对 △ ABC 的 分 析 ， 可 知 ， sin α=0.4/0.8=0.5 ∴α=30o,
cosα= 3 /2,分别代入（1）、（2）、（3）、（4）中，即可求得：
N B
= 288.5 N , N B "= 1500 N , N A = 288.5 N , N AB = 577 N. 图表示哺乳动物的下颌骨，假如肌肉提供的力F 1 和 F 2 均与水平方向成 45°，食物作用于牙齿的力为 F，假设 F,F 1 和 F 2 共点，求 F 1 和 F 2 的关系以及与F 的关系。
解：建立图示坐标 o-xy，应 用 共 点 力 平 衡 条 件 ：0 , 0 y xF F
x 方向，F 1 cosα-F 2 cosα=0, F 1 = F 2 y 方向，F 1 sinα+F 2 sinα- F=0， 四根等长且不可伸长的轻绳端点悬于水平面正方形的四个顶点处，另一端固结于一处悬挂重物，F x F 1
F 2
y α α
重量为 W，线与铅垂线夹角为α，求各线内张力。若四根线均不等长，知诸线之方向余弦，能算出线内张力吗？ 解：设四根绳子的张力为 T 1 ，T 2 ，T 3 ，T 4 ，由于对称，显然，T 1 =T 2 =T 3 =T 4 =T；设结点下边的拉力为 F，显然 F=W. 在竖直方向上对结点应用平衡条件：
4Tcosα-W=0，T=W/(4cosα) 若四根线均不等长，则 T 1 ≠T 2 ≠T 3 ≠T 4 ，由于有四个未知量，因此，即使知道各角的方向余弦，也无法求解，此类问题在力学中称为静不定问题。
3.5.1
小车以匀加速度 a 沿倾角为α的斜面向下运动，摆锤相对小车保持静止，求悬线与竖直方向的夹角（分别自惯性系和非惯性系求解）。
解：（1）以地为参考系（惯性系），小球受重力W 和线拉力 T 的作用，加速度 a 沿斜面向下，建立图 示 坐 标 o-xy, 应 用 牛 顿 第 二 定 律 ： s i n c o sc o s s i nma T mgma T
解得 ) sin /( cos a g a tg
（2）以小车为参考系（非惯性系），小球除受重力 W、拉力 T 外，还受惯性力 f* 的作用(见上图虚线表示的矢量)，小球在三个力作用下静止，据牛顿第二定律：
0 sin cos0 cos sin ma T mgma T 解得sincosa gatg
α α θθ f * =ma a y x T W=mg
3.5.2
升降机内有一装置如图示，悬挂的两物体的质量各为m 1 ,m 2 且m 1 ≠m 2 ,若不计绳及滑轮质量，不计轴承处摩擦，绳不可伸长，求当升降机以加速度 a（方向向下）运动时，两物体的加速度各是多少？绳内的张力是多少？ 解：以升降机为参考系,隔离 m 1 ,m 2 ,受力及运动情 况 如 图 示 ,T 为 绳 中 张 力 ， f 1* =m1 a,f 2* =m2 a, a 1 "=a 2 "=a"为 m 1 、m 2 相对升降机的加速度. 以向下为正方向，由牛顿二定律，有：
""2 2 21 1 1a m a m T g ma m a m T g m解得： ) /( ) ( 2) ( ) ("2 1 2 12 11 2 2 1m m a g m m Tm mg m m a m ma 设 m 1 、m 2 的加速度分别为 a 1 、a 2 ，根据相对运动的加速度公式， a a a a a a " "2 2 1 1 写 成 标 量 式 ：a a a a a a " , "2 1， 将 a’ 代 入 ， 求 得 ： )) ( 2) ( 22 11 2 122 11 2 21m mg m m a mam mg m m a ma 3.5.3 图示为柳比莫夫摆，框架上悬挂小球，将摆移开平衡位置而后放手，小球随即摆动起来。⑴当小球摆至最高位置时，释放框架使它沿轨道自由下落，如图 a，问框架自由下落时，摆锤相对于框架如何运动？⑵当小球摆至平衡位置时，释放框架，如图 b，小球相对框架如何运动？小球质量比框架小得多。
解：以框架为参考系，小球在两种情况下的受力如图所示：设小球质量为 m, 框架相T
T f 1 *
f 2 *
a
a 1 "
a 2 "
m 1 g
m 2 g m 1
m 2 a b T f* W θ T f* W
对地自由落体的加速度为 g，因此小球所受的惯性力 f*=mg，方向向上，小球所受重力 W=mg. 在两种情况下，对小球分别应用牛顿第二定律：
⑴小球摆至最高位置时释放框架,小球相对框架速度 v=0，所以法向加速度 a n =v2 / l =0（ l为摆长）；由于切向合力 F τ =Wsinθ-f*sinθ=0，所以切向加速度 a τ =0. 小球相对框架的速度为零，加速度为零，因此小球相对框架静止。
⑵小球摆至平衡位置时释放框架，小球相对框架的速度不为零，法向加速度 a n =v2 / l ≠0，T=man
；在切向方向小球不受外力作用，所以切向加速度 a τ=0，因此，小球速度的大小不变，即小球在拉力 T的作用下相对框架做匀速圆周运动。
3.5.4 摩托车选手在竖直放置圆筒壁内在水平面内旋转。筒内壁半径为 3.0m，轮胎与壁面静摩擦系数为 0.6，求摩托车最小线速度（取非惯性系做）
解：设摩托车在水平面内旋转的最小角速度为ω，以摩托车本身为参考系，车受力情况如图示，运动状态静止。
在竖直方向应用平衡条件，μ 0 N = mg
① 在水平方向应用平衡条件，N = mω2 r
② ①/②得：rgrg020,
最 小 线 速 度 s m rg r v / 7 6 . 0 / 8 . 9 0 . 3 /0
3.5.5 一杂技演员令雨伞绕铅直轴转动，一小圆盘在雨伞上滚动但相对地面在原地转动，即盘中心不动。⑴小盘相对于雨伞如何运动？mg N f=μ 0 N f*=mω2 r ω W f C * f K * N f 0
⑵以伞为参考系，小盘受力如何？若保持牛顿第二定律形式不变，应如何解释小盘的运动？ 解：⑴可把小盘当作质点，小盘相对雨伞做匀速圆周运动，与伞相对地的转向相反。
⑵以伞为参考系，小盘质点受 5 个力的作用：向下的重力 W，与扇面垂直的支持力 N，沿伞面向上的静摩擦力 f 0 ，此外还有离心惯性力 f C *和科氏惯性力 f k *，方向如图所示。把这些力都考虑进去，即可保持牛顿第二定律的形式不变，小盘正是在这些力的作用下相对伞做匀速圆周运动。
3.5.6 设在北纬 60°自南向北发射一弹道导弹，其速率为 400m/s，打击 6.0km远的目标，问该弹受地球自转影响否？如受影响，偏离目标多少（自己找其它所需数据）? 解：以地球为参考系，导弹除受重力作用外，还要受离心惯性力和科氏惯性力的作用。离心惯性力的方向在速度与重力加速度平面内，不会使导弹前进方位偏离，而科氏惯性力的方向垂直速度、重力加速度平面（指向纸面），要使导弹偏离前进方向。
由于导弹速度较大，目标又不是很远，可近似认为导弹做匀速直线运动，导弹击中目标所需时间t=6000/400=15s，在此时间内导弹在科氏惯性力作用下偏离目标的距离：
3.6.1 就下面两种受力情况：⑴ j i t Fˆ2ˆ2 （N,s）， ⑵ j t i t Fˆ) 1 (ˆ2 （ N,s ）
分 别 求 出t=0,1/4,1/2,3/4,1 时的力并用图表示；再求 t=0至 t=1 时间内的冲量，也用图表示。
f k × v ω 60° f C
解：⑴ ,ˆ2ˆ2 j i t F 代入t值得：
j i dt j tdt i dt F Iˆ2ˆ ˆ2ˆ2101010 Ns I 5 2 12 2 ,与 x 轴夹角 α= arctgI y /I x = arctg2 = 63.5° ⑵ ,ˆ) 1 (ˆ2 j t i t F 代入t值得：
j i tdt j dt j tdt i dt F Iˆ ˆ ˆ ˆ ˆ22110101010 Ns I 2 / 5 5 . 0 12 2 ,与x轴夹角 α= arctgI y /I x = arctg0.5 = 26.5° 3.6.2 一质量为 m 的质点在 o-xy 平面上运动，其位置矢量为：
j t b i t a rˆsinˆcos ，求质点的动量。
解：质点速度：
j t b i t a dt r d vˆcosˆsin / 质点动量：
j t b m i t a m v m pˆcosˆsin 大小：
t b t a m p p py x 2 2 2 22 2cos sin
方向：与 x 轴夹角为θ，tgθ= p y /p x = - ctgωt·b/a 3.6.3 自动步枪连发时每分钟可射出 120 发子弹，每颗子弹质量为 7.9g，出口速率为 735m/s，求射击时所需的平均力。
解 ：
枪 射 出 每 法 子 弹 所 需 时 间 ：
Δt=60/120=0.5s，对子弹应用动量定理：
3.6.4
棒球质量为 0.14kg,棒球沿水平方向以速率 50m/s 投来，经棒击球后，球沿水平成 30o飞出，速率为 80m/s，球与棒接触时间为 0.02s，求棒击球的平均力。
v 解：以地为参考系，把球视为质点，
30o
v 0
x y F(0 F(1/4 F(1/2 F(3/4 F(11 2 1 2 0 x y 1 2 1 2 0 I αI x y 1 2 1 2 0 αx y F(0F(1/4F(1/2F(3/4F(11 2 1 0
由动量定理，0v m v m t F ，画出矢 量 图 ， 由 余 弦 定 理 ，2 / 102202 2 2) 30 cos 2 ( v v m v m v m t F ，代入数据，可求得 F=881N.由正弦定理
mv
FΔt
30 sin / sin / t F mv ，代入数据，
30o
α 求 得 " 32 18 , 3179 . 0 sin
mv 0
3.6.5
质量为 M 的滑块与水平台面间的静摩擦系数为μ 0 ，质量为 m 的滑块与 M 均处于静止，绳不可伸长，绳与滑轮质量可不计，不计滑轮轴摩擦。问将 m 托起多高，松手后可利用绳对 M 冲力的平均力拖动M？设当m下落h后经过极短的时间Δt后与绳的铅直部分相对静止。
解：以地为参考系，选图示坐标， 先以 m 为研究对象，它被托起 h，再落
y
回 原 来 位 置 时 ， 速 度 大 小 为 gh v 2 ，
x
在Δt 极短时间内与绳相互作用，速度 又变为零，设作用在 m 上的平均冲力为 F，相对冲力，重力作用可忽略，则由质点动量定理有：gh m mv mv t F 2 ) ( 0 ，∴ t gh m F / 2
再以 M 为研究对象，由于绳、轮质量不计，轴处摩擦不计，绳不可伸长，所以 M 受到的冲力大小也是 F ，M 受到的最大静摩擦力为 f max =μ o Mg， 因此,能利用绳对 M 的平均冲力托动 M 的条件是：
F≥f max ， 即2 2 222 / ) ( / 2 m g t M h Mg t gh mo o
3.6.6 质量 m 1 =1kg, m 2 =2kg, m 3 =3kg, m 4 =4kg，m 1 , m 2 和 m 4 三个质点的位置坐标顺次是：(x,y) = (-1,1), (-2,0), (3,-2)，四个质点的质心坐标是：m M
(x,y)=(1,-1)，求 m 3 的位置坐标。
解 ：
由 质 心 定 义 式 ： 41414141,i iC i i ii iC i i iy m y m x m x m ，有 3.7.1
质量为 1500kg 的汽车在静止的驳船上在5s内自静止加速至5m/s,问缆绳作用与驳船的平均力有多大？（分别用质点系动量定理、质心运动定理、牛顿定律求解）
解：（1）用质点系动量定理解：
以岸为参考系，把车、船当作质点 系，该系在水平方向只受缆绳的拉 力 F 的作用， 应用质点系动量定 理，有 FΔt=m 1 v ∴ F=m 1 v/Δt=1500×5/5=1500N
（2）用质心运动定理解：
F=(m 1 +m 2 )a c
,据质心定义式，有：
(m 1 +m 2 )a c =m 1 a 1 +m 2 a 2
， a 1 为车对岸的加速度，a 1 =(v-0)/Δt=v/Δt， a 2 为 船 对 地 的 加 速 度 ， 据 题 意 a 2 =0 ， ∴a c =a 1 m 1 /(m 1 +m 2 ) ，代入 a 1 ，
a c =m 1 v/[(m 1 +m 2 )Δt] ，∴ F=m 1 v/Δt=1500N （3）用牛顿定律解：
a 2 =0
a 1
分别分析车、船两个质点的
F
f
f
受力与运动情况：其中 f 为 静摩擦力， a 1 =v/Δt ，对两个质点分别应用牛顿二定律：
3.7.2 汽 车 质 量 m 1 =1500kg ， 驳 船 质 量m 2 =6000kg，当汽车相对船静止时，由于船尾螺旋桨的转动，可使船载着汽车以加速m 2
m 1 X
m 1
F
x m maax
度 0.2ms-2 前进. 若正在前进时，汽车自静止开始相对船以加速度 0.5ms-2 与船前进相反方向行驶，船的加速度如何？ 解：⑴用质心定理求解
车相对船无论静止还是运动，螺旋桨的水平推力不变，即车、船系统所受外力不变，由质心运动定理可知，车运动时的质心加速度与车静止时的质心加速度相等 a C =0.2m/s2
设车运动时相对船的加速度为 a "，相对地的加速度为 a 1 ，船相对地的加速度为 a 2 ，由相对运动公式：
, "2 1a a a
① 由质心定义式可知：Ca m m a m a m ) (2 1 2 2 1 1 ② 将①代入②中，可得：
"2 112a a am mmC ，取船前进 方 向 为 正 ， 代 入 数 据 ：3 . 0 ) 5 . 0 ( 2 . 06 0 1 5 0 01 5 0 02 a m/s2
⑵用质点系动量定理求解
设船所受的水平推力为 F，在车静止时，可把车、船当作质量为(m 1 +m 2 )的质点，加速度为 a =0.2，由牛顿第二定律：① a m m F ) (2 1
设车运动时相对船的加速度为 a "，相对地的加速度为 a 1 ，船相对地的加速度为 a 2 ，由相对运动公式：
, "2 1a a a 对车、船应用质点系动量定理的导数形式：
令 ① = ② ，" , ) " ( ) (2 112 2 2 2 1 2 1a a a a m a a m a m mm mm ,取船前进方向为正，代入数据：
3 . 0 ) 5 . 0 ( 2 . 06000 150015002 a m/s2 3.7.3 气球下悬软梯，总质量为 M，软梯上站一质量为 m 的人，共同在气球所受浮力 F 作用下加速上升，当人以相对于软梯的加速度 a m 上升时，气球的加速度如何？ 解：由质心定理：F- (m+M)g = (m+M) a C
x
① 设人相对地的加速度为 a 1 ，气球相对地的加速度为 a 2 ，由相对运动公式：
a 1 = a m + a 2 ，由质心定义式可知：
（m+M）
a C
= m a 1 +M a 2 =m( a m + a 2 )+M a 2
② ①②联立，可求得：
gM mma Fam2 3.7.4 水流冲击在静止的涡轮叶片上，水流冲击叶片曲面前后的速率都等于 v，设单位时间投向叶片的水的质量保持不变等于 u，求水作用于叶片的力。
解：以水为研究对象，设在Δt时间内质量为Δm 的水投射到叶片上，由动量定理：
由牛顿第三定律，水作用叶轮的力 F"= -F=2uv 3.7.5
70kg重的人和210kg重的小船最初处于静止，后来人从船尾向船头匀速走了 3.2m 停下来，问人向哪个方向运动，移动了几米？不计船所受的阻力。
解：以地为参考系，选图示坐标 o-x,设人的质量为 m 1 =70kg，人相对地的速度为 v 1 ， 相对船的速度为 v 1’ ，它们的方向显然与 x 轴同向；设船的质量为m 2 =210kg，船相对地的速度为 v 2 ，（方向显然与 x 轴相反）；据相对运动的速度变换公式，人对地的速度v 1 =v 1 ’+v 2 . 由于不计水的阻力，所以在水平方向上，人与船构成的质点系动量守恒，有：
m 1 v 1 +m 2
v 2 =0， 即 m 1 (v 1 ’+ v 2 )+m 2 v 2 =0
，可求得 v 2 = - v 1 ’m 1 /(m 1 +m 2 ) ，将上式两边同时乘上相互作用时间Δ t ， v 2 Δt=s 2 为船相对地的位移， v 1 ’Δt=s 1 ’=3.2m ，即 m-v v mx
s 2 = - s 1 ’m 1 /(m 1 +m 2 ) = - 3.2×70/(70+210) = - 0.8m
3.7.6
炮车固定在车厢内，最初均处于静止，向右发射一枚弹丸，车厢向左方运动，弹丸射在对面墙上后随即顺墙壁落下，问此过程中车厢移动的距离是多少？已知炮车和车厢总质量为 M，弹丸质量为 m，炮口到对面墙壁的距离为 L,不计铁轨作用于车厢的阻力。
解：以地为参考系,建立图示坐标 o-x，设弹丸出口时相对车的速度为
v’ , 对地的速度为 v , 车后退的速度为 V ，据相对运动的速度变换公式，可知：
v=v’+V
由于不计路轨对车的摩擦
阻力，所以，在水平方向，弹、 车组成的质点系动量守恒，有
MV+m v=0 ，将 v 代入， MV+m(v’+V)=0 ， V= - v’m/(m+M)
设弹发...