三角函数的知识结构体系
一、三角函数的预备知识：
1 1 、角的概念的推广；
2 2 、弧度制；
二、三角函数的定义及其几何意义（三角函数线）；
1 1 、三角函数在各个象限的符号特征；
2 2 、特殊角的三角函数值；
3 3 、各个三角函数的函数值的分布规律；
4 4 、简单的三角方程、三角不等式；
5 5 、 sin cos 的值的分布规律。
三、三角函数间的关系：
1 1 、同角三角函数间的关系；
（1 1 ）平方关系；
（2 2 ）倒数关系；
（3 3 ）商数关系。
2 2 、不同角三角函数间的关系：
（1 1 ）诱导公式；
（2 2 ）
和、差、倍 、半的正弦、余弦、正切公式及其变形、拓展；
四、三角函数的图像和性质；
五、三角函数的应用：
1 1 、解简单的三角方程；
2 2 、解简单的三角不等式；
3 3 、解与三角函数相关的应用
题；
课题 1 1、 、 两角和与差的三角函数
一、探究两角差的余弦公式
1 1 、 猜 想 ：cos( ) cos cos ；
结 论 ：cos( ) cos cos 。
2 2 、探究：
cos ？
（1 1 ）
几何探究 ：
几 何 图 形 构 造 ， 建 立 复 角“ ”的三角函数线与单角, 的三角函数线之间的 联系。
。
（2 2 ）向量探究：
向量构造，建立“ ” ”。
与向量夹角的联系。
（ 3 3 ）
结 论 ：
cos( ) cos cos sin sin
二、探究两角和的余弦公式
1 1 、 猜 想 ：cos( ) cos cos
结 论 ：cos( ) cos cos
2 2 、：
几何探究：
“ 在单位圆中用构造法” ” ，
利用相等的圆心角所对的弦长相等建立等式即可。
3 3 、向量探究 ：
向量构造，建立“ ”与向量夹角的联系，在计算向量夹角时注意向量对应坐标应是 , 。
单角的正余弦。
4 4 、 结 论 ： cos cos cos sin sin 。
三、 用 配角技巧和 诱导公式推导证明：
1 1 、 用 cos cos cos sin sin 证明：
cos( ) cos cos sin sin
注 ：
变 角 技 巧 ：
2 2 、 用 cos cos cos sin sin 证明：
sin( ) sin cos cos sin
注：变角技巧 ，
sin cos cos2 2 ；
3 3 、 用 cos cos cos sin sin 证明：
sin( ) sin cos cos sin
注：变角技巧，
3sin cos23
cos2 ；
4 4 、 用sin( ) sin cos cos sin 证明：
sin( ) sin cos cos sin
注 ：
变 角 技 巧 ， 。
5 5 、和与差的正弦、余弦公式对比记忆：
sin( ) sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
四、 利用同角三角函数推导：
联立方程：
sin( ) sin cos cos sincos cos cos sin sin
tan tantan( )1 tan tan
特点：将复角 的正切与两个单角 , 的正切值之间的关系；
tan tantan( )1 tan tan
特点：将复角 的正切与两个单角 , 的正切值之间的
关系；
例 例 1 1 、已知 tan ,tan 是方程23 3 4 0 x x 的两个根，且 , ( , )2 2 ，则
（A A ）3
（B B ）3或23
（C C ）3 或23
（D D ）23
五、 和与差的正弦、余弦、正切公式：
sin( ) sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tan tantan( )1 tan tan
sin( ) sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tan tantan( )1 tan tan
拓展 及其应用: :
1 1 、 关于公式的补充说明
（1 1）
）
“ , , , C C S S ”的展开式是恒等式；
（2 2 ）
公式“ , T T ”是条件等式；
（3 3 ）
通过赋值可 导出前面所有的诱导公式；
（4 4 ）记住 “ 15 ,75 ”的三角函数值；
例 例 1 1 、求值：
（1 1 ）0 00 0sin75 cos75sin75 cos75；
（2 2 ）0 0 00 0 0sin7 cos15 sin8cos7 sin15 sin8；
2 2 、 和、差正切的特例：
1 tantan4 1 tan ；1 tantan4 1 tan ；
逆用：
1 tantan1 tan 4 ；1 tantan1 tan 4 ；
例 、 求 证 ： tan 1 tan( ) 1 24 。
3 3 、 正切和与差的三角函数公式的变形用：
tan tan tan( ) 1 tan tan ；
例 1 1 、0 0 0 0tan10 tan20 3(tan10 tan20 ) 等于（
）
A A ．33
B B ． 3
C C ． 3
D D ．1 1
例 例 2 2 、在 ABC 中，已知
tan tan 3tan tan 3 A C A C ，则 B ＝
；
：
备 注 ：
在 ABC 中 ，
sin sincos costan tanA B CA B CA B C
4 4、 、：
和、差的余弦、正弦的逆用：
关注左边的结构形式：
sin cos cos sin sin( )
cos cos sin sin cos
sin cos cos sin sin( )
cos cos sin sin cos
逆用举例：
（ 1 1 ）1sin17 cos13 cos17 sin13 sin302
（ 2 2 ）3cos17 cos13 sin17 sin13 cos302
（ 3 3 ）
1 3 2cos15 sin15 sin452 2 2
例 1 1 、 在 ABC 中 ， 若sin sin cos cos A B A B ， 则ABC 一定为（
）
A A ． 等 边 三 角 形
B B ．直角三角形
C C ． 锐 角 三 角 形
D D ． 钝角三角形
例 2 2 、0 0 0 0sin119 sin181 sin91 sin29
；
思考：
sin cos ?
一般情形：
：
“化一“公式（或辅助角公式）：
2 2sin cos sin( ) a b a b ，
其 中 ，2 2cosaa b ，2 2sinba b ， tanba 。
作用 ：求最值，求周期 、单调性、对称性、图像 。
例 1 1 、 要 使4 6sin 3cos4mm 有 意义，则 m 的取值范围是（
）
A A ．73m
B B ． 1 m
C C ．713m
D D ． 1 m 或73m
例 例 2 2 、已知 是锐角，那么下列各值中， sin cos 能取到的值
是 (
)
（A A ）43
（B B ）34
（C C ）53
（D D ）12
例 3 3 、 在 (0,2 ) 内 ， 使0 sin cos 1 x x 成立的 x 的取值范围是（
）
A A ． (0, )2
B B ．3( , )4 4
C C ．3 7( , ) ( ,2 )2 4 4
D D ．3 3 7( , ) ( , )4 2 4
例 4 4 、 设02sin24 a ，0 0sin85 3cos85 b ，
0 0 0 02(sin47 sin66 sin24 sin43 ) c ， 则
A A ． a b c
B B ． b c a
C C ． b c a
D D ． b a c
例 5 5 、 函 数
0 03sin( 20 ) 5sin( 80 ) y x x 的最大值 是
A A ． 112
B B ． 132
C C ． 7
D D ．8 8
练 习 ：
函 数2sin( ) cos( )( )3 6y x x x R 的最小值等于
A A ．－3 3
B B ．－2 2
C C ．－1 1
D D ．－ 5
例 6 6 、 求 值 域2cos 3sin , ,6 3y x x x ； ；
例 7 7 、 使 函 数sin(2 ) 3cos(2 ) y x x 为奇函数，且在 0,4 上是减函数的 的一个值是（
）
A A ．53
B B ．43
C C ．23
D D ．3
例 例 8 8 、把函数 cos 3sin y x x 的图像向左平移 m 个单位，所得的图像关于 y 轴对称，则 m 的最小值是（
）
A A ．6
B B ．3
C C ．23
D D ．56
例 9 9 、 已 知 方 程sin 3cos x x m 在 [0, ] 上有两个解，求实数 m 。
的取值范围。
5 5 、 公式的灵活应用
（1 1）
）
“平方相加”整体求解的方法举例：
例 1 1 、 已 知sin sin sin 0,cos cos cos 0 ，则 cos( ) 的值等于（
）
）
A A ．－ 1
B B ．12
C C ．12
D D ．1 1
例 例 2 2 、设2sin sin2x y ，则cos cos x y 的取值范围是
（A A ）140,2
（B B ）140,2
（C C ）14 14,2 2
（D D ）1 7,2 2
6 6、 、 “配角”技巧的应用举例：
例 1 1 、 、 已 知34 4 ，04 ，3cos( )4 5 ，3 5sin( )4 13 ， 求 sin( ) 的值；
例 例 2 2、 、 已知 3sin sin 2 ，2k ，2k ，k Z 。
求证：
tan 2tan 。
练习：
1 1 、1 3cos( ) ,cos , (0, ), (0, )3 4 2 2 ，则有
A A ． (0, )2
B B ． ( , )2
C C ． ( ,0)2
D D ．2
7 7、 、 “非 特殊 角”化简求值举例：
：
例 1 1 、 化 简 ：0 0 00 0 0sin15 cos9 cos66sin15 sin9 sin66；
例 2 2 、 求 值 ：000cos10(tan10 3)sin50 ；
8 8 、 公式的合理选择问题举例：
已 知 锐 角 , 满 足5 3 10sin ,cos5 10 ， 则 的值是
A A ．4
B B ．34
C C ．4或34
D D ．54或34
六 、巩固训练
（一）选择题
1 1 、若 sin sin 1 ，则 cos( ) 的值为（
）
A A ． 0
B B ． 1
C C ． 1
D D ． －1 1
2 2 、函数 sin2 cos2 y x a x 的图
象关于直线8x 对称，则 a 的值是 (
)
（A A ）１
（B B ）－１
（C C ）
2
（D D ）2
3 3 、 若sin cos tan (0 ),2 则
（
）
A A ． (0, )6
B B ． ( , )6 4
C C ． ( , )4 3
D D ． ( , )3 2
4 4 、 已知 、 均为锐角，若:sin sin( ) p ，:2q ，则 p 是 q 的
A A ．充分而不必要条件
B B ．必要而不充分条件
C C ．充要条件
D D ．既不充分也不必要条件
5 5 、 函数 ( ) sin cos f x x x 的最小正周期是
A A ．4
B B ．2
C C ．
D D ．2 2
（二）填空题
1 1 、 已 知 tan( ) 24x ， 则tanx
；
2 2 、cos( ) sin( )4 4
；
3 3 、 若
1 1sin sin ,cos cos3 2x y x y ，
则cos( ) x y
。
4 4 、 已 知sin( )cos cos( )sin 0 ，
则 sin( 2 ) sin( 2 ) ＝
。
5 5 、 已 知1sin( )2 ，1sin( )3 ，
则 tan cot
＝
。
（三）解答题：
1 1 、 已知：实数 , a b 均不为零，sin costancos sina ba b ， 且6 ，求ba的值。
2 2 、 设1 2cos( ) ,sin( )2 9 2 3 ， 且 ,02 2 ， 求
cos2 。
3 3、 、 （8 2008 年江西）
已 知 ： 1 5tan ,cos , , 0,3 5
（1 1 ）求 tan 的值；
（ 2 2 ）
求 2sin cos f x x x 的最大值。
4 4、 、 （4 04 全国高考）
形 已 知 锐 角 三 角 形 C ABC 中 ，3 1sin( ) ,sin( ) .5 5A B A B
（Ⅰ）求证：
tan 2tan A B ；
（Ⅱ）设 AB=3 ，求 B AB 边上的高