1 第二章 函数 本章知识结构图
函数八字图
方程 不等式函数 映射 定义 表示 解析法 列表法 三要素 图象法 定义域 对应关系 值域
性质 奇偶性 周期性 对称性 单调性 定义域关于原点对称，在 x＝0 处有定义的奇函数→f (0)＝0 1、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同；2、证明单调性：作差（商）、导数法；3、复合函数的单调性 最值 二次函数、基本不等式、打钩（耐克）函数、三角函数有界性、数形结合、导数. 幂函数 对数函数 三角函数 基本初等函数 抽象函数 复合函数 赋值法、典型的函数 函数与方程 二分法、图象法、二次及三次方程根的分布 零点 函数的应用 建立函数模型 使解析式有意义 函数 换元法求解析式 分段函数 注意应用函数的单调性求值域 周期为 T 的奇函数→f (T)＝f ( T2 )＝f (0)＝0 复合函数的单调性：同增异减 一次、二次函数、反比例函数 指数函数 图象、性质 和应用 平移变换 对称变换 翻折变换 伸缩变换 图象及其变换 性质图像
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本章以函数为核心,其内容包括函数的图像与性质.函数的性质主要包括函数的定义域、解析式、值域、奇偶性、单调性、周期性及对称性函数.的图像包括基本初等函数的图像及图像变换.函数知识的外延主要结合于函数方程（函数零点）及函数与不等式的综合.函数方程（函数零点）问题常借助函数图像求解．函数与不等式的综合可通过函数的性质及函数图像转化求解. 第一节
映射与函数 考纲 解读 1、了解函数的构成要素，了解映射的概念. 2、在实际情况中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数. 3、了解简单的分段函数，并能简单应用. 命题趋势探究 有关映射与函数基本概念的高考试题，考查重点是函数的定义、分段函数的解析式和函数值的求解，主要以考查学生的基本技能为主，预测 2019 年试题将加强对分段函数的考查，考试形式多以选择题或填空题为主. 知识点精讲 1、 、 映射
设 A，B 是两个非空集合，如果按照某种确定的对应法则 f，对 A 中的任何―个元素 x，在 B 中有且仅有一个元素 y 与之对应，则称 f 是集合 A 到集合 B的映射. 注 注 由映射的定义可知，集合 A 到集合 B 的映射，元多个元素对应一个元素，但不允许―个元素对应多个元素， 即可以一对一，也可多对一，但不可一对多. 注 注 象与原象 如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么与 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫 a 的象．记作 b＝f(a),a叫 b 的原象．A 的象记为 f(A) 2、 、 一一映射 设 A，B 是两个集合，f 是 A 到 B 的映射，在这个映射下，对应集合 A 中的不同元素，在集合 B 中都有不同的象，且集合 B 中的任意一个元素都有唯一的原象，那么该映射 f 为 A→B 的一一映射. 注 注 由一一映射的定义可知，当 A，B 都为有限集合时，集合A到集合B的一一映射要求一个元素只能对应―个元素，不可以多对一更不能一对多；同时还可知道，集合 A 与集合 B 中的元素个数相等. 3、 、 函数 设集合 A，B 是非空的数集，对集合 A 中任意实数 x 按照确定的法则 f 集合 B 中都有唯一确定的实数值 y 与它对应，则这种对应关系叫做集合 A 到集合 B 上的一个函数记作 y＝f(x) x∈A·其中 x 叫做自变量，其取值范围（数集 A）叫做该函数的定义域，如果自变量取值 a，则由法则 f 确定的值 y 称为函数在 a 处的函数值，记作 y＝f（a）或 y|x=2，所有函数值构成的集合 { | ( ), } C y y f x x A 叫做该函数的值域，可见集合 C 是集合 B 的子集 . 注 注 函数即非空数集之间的映射 注 注 构成函数的三要素 构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应法则一致，就称两个函数为同一个函数，定义域和对应法则中只要有一个不同，就是不同的函数.
题型归纳及思路提示 型 题型 10 映射与函数的概念 念 思路提示 判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则 f 下对应集合 A 中的任一元素在 B 中
3 都有唯―的象，判断一个对应是否能构成函数，应判断：（1）集合 A 与是否为非空数集；（2）f：A→B 是否为一个映射. 例 例 2.1 若 f：A→B 构成映射下列说法中正确的有（
）
①A 中任―元素在 B 中必须有象且唯一； ②B 中的多个元素可以在 A 中有相同的原象； ③B 中的元素可以在 A 中无原象； ④象的集合就是集合 B A ①②
B.③④
C.①③
D.②③④
式 变式 1
在对应法则 f 下，给出下列从集合 A 到集合 B的对应
2(1) : 1,2 , 0; p x x a (2) xy x f Z B N A ) 1 ( : , , ； （3）A＝{x|是平面内的三角形}，B＝｛y|y 是平面内的圆｝，f：:x→y 是 x 的外接圆； （4）设集合 A＝｛x|是平面内的圆｝，B＝｛y|y 是平面内的矩形｝，f:：x→y 是 x 的内接矩形 其中能构成映射的是_______
式 变式 2 已知函数 y＝f(x),定义域为 A＝｛1,2,3,4｝值域为C＝｛5,6,7},则满足该条件的函数共有多少个？
例 例 2.2 有以下判断：
①| |f(x)=xx与1, 0( )1, 0xg xx 表示同一函数； ②函数 ( ) y f x ＝ 的图象与直线 1 x 的交点最多有 1 个； ③2( 1 ) 2 f x x x ＝ － ＋ 与2( 1 ) 2 g t t t ＝ － ＋ 是同一函数； ④若 1 ( ) | | f x x x ＝ － － ，则1( ( )) 02f f . 其中正确判断的序号是________．
变式 1 下列所给图象是函数图象的个数为(
)
A．1
B．2 C．3
D．4
型 题型 11 同一函数的判断 思路提示 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数 例 例 2.3 在下列各组函数中，找出是同一函数的一组 （1）0x y 与 y=1 （2）
2x y 与2x y
（3）xxy31 与331tty
评注 由函数概念的三要素容易看出，函数的表示法只与定义域和对应法则有关，而与用什么字母表示变量无关这被称为函数表示法的无关特性
4 式 变式 1 下列函数中与 y＝ x 是同一函数的是(
) (1)2x y
(2)xa ay log
(3)xaa ylog
(4)3 3x y
(5) ) (*N n x yn n
A (1)(2)
B(2)(3)
C(2)(4)
D(3)(5)
型 题型 12 函数解析式的求法 思路提示 求函数解析式的常用方法如下：
(1)当已知函数的类型时，可用待定系数法求解. (2)当已知表达式为 x g f 时，可考虑配凑法或换元法，若易将含 x 的式子配成 x g ，用配凑法.若易换元后求出 x ，用换元法. (3)若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法. (4)求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求. 一、 待定系数法（函数类型确定）
例 例 2.4 已知二次函数 ) 0 (2 a c bx ax x f 的图像上任意一点都不在直线 y=x 的下方. （1）求证:a+b+c≥1; （2）设 ) ( ) ( , 32x g x f x F x x x g ，若 F(0)＝5，且 F（x）的最小值等于 2，求 ) (x f 的解析式.
式 变式 1 已知 ) (x f 是一次函数，若 1 4 x x f f ，求) (x f .
二、 换元法或配凑法（适用于了 x g f 型）
例 例 2.5 已知 x x x f 2 ) 1 ( ，求函数 ) (x f 的解析式.
评注 利用换元法求函数解析式时，应注意对新元 t 范围的限制 式 变式 1 已知221111xxxxf ,求 x f 的解析式.
式 变式 2 设 x f =xx11，又记 x f 1 x f x f f x fk k1, (k=1,2,…),则 x f 2015 =(
). A.x1
B.
x
C.11xx
D.xx11
5 例 例 2.6 已知函数 x f 满足 xx f1221xx ,则 x f 的表达式为________.
评注 求函数解析式要注意定义域 式 变式 1 已知x xxxxf1 1 122 求 x f 的解析式
三、 方程组法 例 例 2.7 已知函数 x f 满足： xxf x f 312 0 x ,求函数 x f 的解析式.
注 评 注 若一个方程中 同时出现 f x 与 其 他形式 f x （如 0af ax 或 f a x
等）时，可用 x
代替两边所有的 x,得到关于 f x 与 f x 的另一个方程组,解方程程组即可求出 f x的解析式，常称这种方法为方程组法. 式 变式 1 函数 f x
满足方程 af x f x ax
,其中 x R ,a 为常数，且 a≠ 1
·求 f x
的解析式.
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四、求分段函数的解析式 例 例 2.8 已知函 202 1, ,1 0x xf x x g xx 求 , f g x g f x 的表达式.
评注 对于分段函数的形式，不论是求值还是求分段函数表达式，一定要注意复合变量的要求. 式 变式 1 已知函数 22 12 .22 1 2x xxf x xx x
(1)求7;4f f f (2)若 3, f a
求 a 的值.
例 例 2.9 已知实数 a≠0 函数 , 1,2 , 1x a xf xx a x 若 1 1 , f a f a 则 a 的值为______.
式 变式 1 已知实数 a≠0,函数 2 , 1,2 , 1x a xf xx a x 若 1 2 , f a f a 则 a 的值为_______
变式 2 2 (2017·武汉调研)函数21,1 0f(x)=, 0xsin x xe x 满足 ( 1 2 ) f f a ＋ ＝ ，则 a 所有可能的值为(
) A．1 或－22
B．－22
C．1
D．1 或22
7 题 最有效训练题 4 （限时 45 分钟）
1.下列对应法则 f 中，构成从集合 A 到集合 B 的映射的是(
) A. 20 ,B , : A x x R f x y x ·
B . 22,0,2 , 4 , : A B f x y x
C. 21, 0 , : A R B y y f x yx
D. 0,2 , 0,1 , :2xA B f x y
2.如图 2-2 所示，（a），（b），（c）三个图像各表示两个变量 x，y 的对应关系则有
A 都表示映射，且（a），（b），（c）表示 y 为 x 的函数 B 都表示 y 是 x 的函数 C 仅（b）（c）表示 y 是 x 的函数
D 都不能表示 y 是 x 的函数 3.下列各组函数中是同一函数的是（ ）
A.xYx
与 1 y
B. 1 y x
与1, 11 , 1x xyx x C. 1 y x x
与 2 1 y x
D.321x xyx 与 y x
4. 设 集 合 A 和 B 都 是 坐 标 平 面 上 的 点 集 , , x y x R y R ，映射 f：A→B 使集合 A 中的元素（x，y）映射成集合 B 中的元素（x＋y，x-y），则在映射 f 下，象（2，1）的原象是（
）． A.(3，1)
B.3 1,2 2
C.3 1,2 2
D. 1,3
5．(2018·安徽六校联考)已知函数 f ( x )＝ x | x |，若 f ( x 0 )＝4，则 x 0 的值为(
) A．－2
B．2 C．－2 或 2
D. 2 6.(2018·唐山期末)已知1 2 3 , 1f(x)=, 1ax a xlnx x 的值域为 R R，那么 a 的取值范围是(
) A．(－∞，－1]
B．(－1， 12 ) C．[－1， 12 )
D．(0， 12 ) 7. 定 义 在 R 上 的 函 数 f x 满 足 2 , , 1 2 f x y f x f y x y x y R f ，则 f(-3)=_______. 8.设函数 221 12 1x xf xx x x ,则 12ff 的值为_______. 9. 设 函 数 202 0x bx c xf xx , 若 3 0 , 1 2, f f f 则 关 于 x 的 方 程 f x x 的解的个数为_______. 10．若 : 3 1 f y x
是从集合 1,2,3, A k
到集合 4 2 *4,7, , 3 , B a a a a N
的一个映射,则 A＝_____，B=_______.
11.求下列函数的解析式：
(1)已知21 lg , f xx 求 f x ; (2 已 知 f x 是 一 次 函 数 , 且 满 足
8 3 1 2 1 2 17, f x f x x 求 f x
;
(4)已知 21 cos sin f x x ,求 f x ;
(5) f x 为 二 次 函 数 且f(0)=3, 2 4 2 f x f x x ,求 f x
;
(6)已知定义域为（0,＋∞）的单调函数 , f x
若对任意的 0, x 都有 12log 3, f f x x 求 f x 的解析式.
12.已知 21 01, .2 0x xf x x g xx x
(1)求 2 f g 和 2 g f 的值 （2）求 f g x 和 g f x 的表达式.