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年级
高二
学科
数学
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时间
第（
）次课
：
课时：
2 课时
课题
1.21 排列
目标
1、通过实例理解排列的概念 2、能用计数原理推导排列数公式； 3、会用排列数公式解决简单的实际问题 教学
重点/ /
难点
重点：用排列数公式解决简单的实际问题。
难点：排列数公式的推导。
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导入 （ 进入美妙的世界啦~ ~ ）
复习引入：
1.分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有 k 种途径，由第 1 种途径有 n 1种方法可以完成，由第 2 种途径有 n 2 种方法可以完成，„„由第 k 种途径有 n k 种方法可以完成。那么，完成这件工作共有 n 1 +n 2 +„„+n k 种不同的方法。
2，乘法原理：如果完成一件工作可分为 K 个步骤，完成第 1 步有 n 1 种不同的方法，完成第 2 步有 n 2 种不同的方法，„„，完成第 K 步有 n K 种不同的方法。那么，完成这件工作共有 n 1 ×n 2 ׄ„×n k 种不同方法。
知识
典例 （ ！
注意咯，下面可是黄金部分！
）
一、合作探究 问题 1 1．从甲、乙、丙 3 名同学中选取 2 名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？ 分析：解决这一问题可分两个步骤：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，在 3 名同学中选出 2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有 3×2=6 种，如下图所示．
把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从 3 个不同的元素 a , b ，。中任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的
1.21
排列
排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb,共有 3×2=6 种． 问题 2 2．从 1,2,3,4 这 4 个数字中，每次取出 3 个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数，在 4 个字母中任取 1 个，有4 种方法；第二步确定中间的数，从余下的 3 个数中取，有 3 种方法；第三步确定右边的数，从余下的 2 个数中取，有 2 种方法奎屯王新敞新疆 由分步计数原理共有：4×3×2=24 种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列奎屯王新敞新疆 由此可写出所有的排法，因而共可得到 24 个不同的三位数，如图所示：
由此可写出所有的三位数：
123，124, 132, 134, 142, 143，
213，214, 231, 234, 241, 243， 312，314, 321, 324, 341, 342，
412，413, 421, 423, 431, 432 。
同样，问题 2 可以归结为：从 4 个不同的元素 a, b, c，d 中任取 3 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ 所有不同排列是
abc, abd, acb, acd, adb, adc,
bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb,
dab, dac, dba, dbc, dca, dcb. 共有 4×3×2=24 种. 树形图如下
a
b
ｃ
ｄ
ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｄ
ａ ｂ ｄ
ａ ｂ ｃ 二、知识清单
1 1 ． 元素：我们把问题中被取的对象叫做元素
2 2 ．排列的概念：
从 n 个不同元素中，任取 m （ m n ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定．．的顺序．．．排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列．．．． 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；
（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同
3 3 ．排列数的定义：
从 n 个不同元素中，任取 m （ m n ）个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数，用符号mnA 表示 注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从 n 个不同元素中，任取 m 个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从 n 个不同元素中 ，任取 m （ m n ）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号mnA 只表示排列数，而不表示具体的排列 4 4 ．排列数公式及其推导：
求mnA 以按依次填 m 个空位来考虑 ( 1)( 2) ( 1)mnA n n n n m ， 排列数公式：
( 1)( 2) ( 1)mnA n n n n m =!( )!nn m （ , , m n N m n ）
说明：（1）公式特征：第一个因数是 n ，后面每一个因数比它前面一个少 1，最后一个因数是 1 n m ，共有 m 个因数； （ 2 ）
全 排 列 ：
当 n m 时 即 n 个 不 同 元 素 全 部 取 出 的 一 个 排 列 全 排 列 数 ：( 1)( 2) 2 1 !nnA n n n n （叫做 n 的阶乘）
三、典例分析 例 例 1 1．计算：（1）316A ；
（2）66A ；
（3）46A ． 解：（1）316A
＝ 16 15 14 ＝3360
； （2）66A
＝ 6! ＝720
； （3）46A ＝ 6 5 4 3 ＝360
式 变式 1、 、与3 710 7A A 不等的是
（
）
( ) A910A
( ) B8881A
( ) C9910A
( ) D1010A
式 变式 2 、100×99×98ׄ×89 等于
（
）
A.10100A
B.11100A
C.12100A
D.13100A
例 例 2 2． ．（1）若 17 16 15 5 4mnA ，则 n
， m
． （2）若 , n N 则 (55 )(56 ) (68 )(69 ) n n n n 用排列数符号表示
． 解：（1）
n
17
， m
14
． （2）若 , n N 则 (55 )(56 ) (68 )(69 ) n n n n ＝ 1569 nA． 式 变式 1、 、若5 32m mA A ，则 m 的值为
（
）
( ) A 5
( ) B 3
( ) C 6
( ) D 7
式 变式 2、 、已知2nA ＝132，则 n 等于
（
）
A.11
B.12
C.13
D.以上都不对
例 例 3、 、解方程：33 2 212 6x x xA A A ．
解：由排列数公式得：
3 ( 1)( 2) 2( 1) 6 ( 1) x x x x x x x ， ∵ 3 x ，∴ 3( 1)( 2) 2( 1) 6( 1) x x x x ，即23 17 10 0 x x ， 解得 5 x 或23x ，∵ 3 x ，且 x N ，∴原方程的解为 5 x ． 变式 1 1 、已知 的值为 与 则 n m ,4 3 21 1 mnmnmnC C C
变式 2 2 、已知 的值 求n , 15 ) 4 ( 4 20231355 nnn nA C n C
例 例 4、 、解不等式：29 96x xA A ． 解：原不等式即9! 9!6(9 )! (11 )! x x ， 也就是1 6(9 )! (11 ) (10 ) (9 )! x x x x ，化简得：221 104 0 x x ， 解得 8 x 或 13 x ，又∵ 2 9 x ，且 x N ， 所以，原不等式的解集为 2,3,4,5,6,7 ． 式 变式 1、 、若11( 1)!2 42mmmA ，则 m 的解集是
． 变式 2 2、 、若 x 满足112 x1 x3 C 2xxC ，则 x=
例 例 5、求证：（1）n m n mn n n mA A A ；（2）(2 )!1 3 5 (2 1)2 !nnnn ． 证明：（1）!( )! !( )!m n mn n mnA A n m nn m nnA ，∴原式成立奎屯王新敞新疆
（2）(2 )! 2 (2 1) (2 2) 4 3 2 12 ! 2 !n nn n n nn n 2 ( 1) 2 1 (2 1)(2 3) 3 12 !nnn n n nn !1 3 (2 3)(2 1)!n n nn 1 3 5 (2 1) n 右边
∴原式成立奎屯王新敞新疆
说明：（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数mnA 中， , m n N 且 m n 这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围； （2）公式 ( 1)( 2) ( 1)mnA n n n n m 常用来求值，特别是 , m n 均为已知时，公式mnA =!( )!nn m ，常用来证明或化简奎屯王新敞新疆
变式、求证：1 2 3 11 2 3 12 3 1n nn nA A A A A n
例 例 6、 、化简：⑴1 2 3 12! 3! 4! !nn ；⑵ 1 1! 2 2! 3 3! ! n n 奎屯王新敞新疆
⑴解：原式1 1 1 1 1 1 11!2! 2! 3! 3! 4! ( 1)! ! n n 11! n
⑵提示：由 1 ! 1 ! ! ! n n n n n n ，得 ! 1 ! ! n n n n ，
原式 1 ! 1 n
奎屯王新敞新疆
说明：1 1 1! ( 1)! !nn n n ． 变式、计算：.11( 1)!( )!nmmA m n
例 例 7 7、 、（1）从 2,3,5,7,11 这五个数字中，任取 2 个数字组成分数，不同值的分数共有多少？（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？ （3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有 14 队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛 1 次，共进行多少场比赛？ 解：（1）255 4 20 A ； （2）555 4 3 2 1 120 A ； （3）21414 13 182 A
式 变式 1、 、(1)放假了，某宿舍的四名同学相约互发一封电子邮件，则他们共发了多少电子邮件？ (2) 放假了，某宿舍的四名同学相约互通一次电话，共打了多少次电话？
式 变式 2、 、有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有（
）（A）88A 种
（B）48A 种
（C）44A ·44A 种
（D）44A 种 例 例 8 、三个女生和五个男生排成一排． （1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？ （5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？ 答案：(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 720 点评：
1）若要求某n个元素相邻，可采用“捆绑法”，所谓“捆绑法”就是首先将要求排在相邻位置上的元素看成一个整体同其它元素一同排列，然后再考虑这个整体内部元素的排列。
2）若要求某 n 个元素间隔，常采用“插空法”。所谓插空法就是首先安排一般元素，然后再将受限制元素插人到允许的位置上． 式 变式 1、 、（1）6 个人站一排，甲不在排头，共有
种不同排法． （2）6 个人站一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有
种不同排法． 答案：（1）600
（2）504 误区警示
（1）
排列与元素的顺序有关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题．当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列。
（2）
以特定规律写出排列，避免重复或漏掉。
强化练习
（ 挑战一下自己吧~）
1、由 0，l，2，3，4，5 这六个数字组成的无重复数字的三位数中，奇数个数与偶数个数之比为
（
）
A、 l：l
B、2：3
C、 12：13
D、21：23 2、由 0，l，2，3，4 这五个数字组成无重复数字的五位数中，从小到大排列第 86 个数是 （
）
A、42031
B、42103
C、42130
D、43021 3、下列各式中与排列数mnA 相等的是（
）
（A）!( 1)! nn m （B）n(n－1)(n－2)„„(n－m) （C）11mnnAn m （D）1 11mn nA A 4．若 n∈N 且 n<20，则(27－n)(28－n)„„(34－n)等于（
）
（A）827 nA
（B）2734nnA
（C）734 nA
（D）834 nA 5．若 S=1 2 3 1001 2 3 100A A A A ，则 S 的个位数字是（
）
（A）0
（B）3
（C）5
（D）8
6、从 a，b，c，d，e 这五个元素中任取四个排成一列，b 不排在第二的不同排法有
（）
A 、3514 AA
B、2313 AA
C、45A
D、3414 AA 7、从 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的 3 块土地上进行实验，有
24
种不
同的种植方法。
8、9 位同学排成三排，每排 3 人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有
166320 种。
9、从 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的 3 块土地上进行实验，有
不 同的种植方法。
10、9 位同学排成三排，每排 3 人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有
种。
11、 (1) mnA
11mnA ；（2）
mnA
1 mnA
12、解关于 m 的不等式：11( 1)!2 42mmmA .
13、某产品的加工需要经过 5 道工序， （1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有多少种排列加工顺序的方法？ （2）如果其中某两工序不能放在最前，也不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？
（ 一日悟一理，日久而成学）
一、 方法小结: :
二、本节课我做的比较好的地 方是：
三、我需要努力的地方是：
回顾小结
课后作业 1．若!3!nx ，则 x
（ ）
( ) A3nA
( ) B3 nnA
( ) C3nA
( ) D33 nA 2．若5 32m mA A ，则 m 的值为
（ ）
( ) A 5
( ) B 3
( ) C 6
( ) D 7
3．用 1，2，3，4，5 这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（
）
（A）24 个
（B）30 个
（C）40 个
（D）60 个 4．甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（
）
（A）12 种
（B）18 种
（C）24 种
（D）96 种 5．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（
）
（A）6 种
（B）9 种
（C）18 种
（D）24 种 6、已知25 - n2nA 6 A ，则 n=
。
7、计算 59884858A AA 7 A 2
。
8 、 将 3 名男生和 4 名女生排成一行,甲、乙两人必须站在两头,则不同的排列方法共有
种。
9 、 把 5 件不同产品摆成一排.若产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与产品 C 不相邻,则不同的摆法有
种.
10 、 张、王两家夫妇各带 1 个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园.为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这 6 个人的入园排法共有
种.
11、解不等式：2＜ 42AA1 n1 n1 n1 n
12、一个火车站有 8 股岔道，停放 4 列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放 1 列火车）？
13、7 位同学站成一排， （1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ （2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
14、 (1)3 人坐在有八个座位的一排上,若每人的左右两边都要有空位,则不同坐法的种数为多少? (2)有 5 个人并排站成一排,如果甲必须在乙的右边,则不同的排法有多少种?
15 、 某天某班的课程表要排入数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课程,如果第一节不排体育,第六节不排数学,一共有多少种不同的排法?
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