第十三章
轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题 【教学目标】
1.知识与能力：
（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题． （2）能够用轴对称的知识解决相应的数学问题． 2.过程与方法：
体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 3.情感、态度与价值观：
培养学生的应用意识和探究精神． 【教学重点】
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
【教学难点】
用轴对称知识解决相应的数学问题． 【教学方法】
创设情境－主体探究－合作交流－应用提高． 【教学过程】
一、 创设情境，激发学生兴趣，引出本节课要研究的内容 活动 1
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
二、观察操作，主动探索，研究坐标系内的轴对称 活动 2 问题 1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后B A l
来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？
教师追问 1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将 A，B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直线．
教师追问 2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ （1）从 A 地出发，到河边 l 饮马，然后到 B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与 A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从 A 地到饮马地点，再回到 B 地的路程之和； （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线 l 上的点．设 C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小（如图）．
问题 2
如图，点 A，B 在直线 l 的同侧，点 C 是直线上的一个动点，当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小？ 教师追问 1 对于问题 2，如何将点 B“移”到 l 的另一侧 B′处，满足直线 l 上的任意一点 C，都保持 CB 与 CB′的长度相等？
追问 2 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点 B′吗？
作法：
（1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B′； （2）连接 AB′，与直线 l 相交于点 C．则点 C 即为所求．
B ¡¤ ¡¤ A l B A l C
问题 3 你能用所学的知识证明 AC +BC 最短吗？
证明：如图，在直线 l 上任取一点 C′（与点 C 不重合），连接 AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．∴ AC +BC= AC +B ′ C = AB ′ ，
AC ′ +BC ′ = AC ′ +B ′ C ′ ．
追问 1 证明 AC +BC 最短时，为什么要在直线 l 上任取一点 C′（与点 C 不重合），证明 AC +BC ＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？
若直线 l 上任意一点（与点 C 不重合）与 A，B 两点的距离和都大于 AC +BC，就说明AC +BC 最小．
B ¡¤ l A ¡¤ B ′
C B ¡¤ l A ¡¤ B ′
C C ′
追问 2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？
二、 应用提高 练习 如图，一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山脚下的 Q 处接游客，然后将游客送往河岸 BC 上，再返回 P 处，请画出旅游船的最短路径．
基本思路：
由于两点之间线段最短，所以首先可连接 PQ，线段 PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线 BC，这样问题就转化为“点 P，Q 在直线 BC 的同侧，如何在 BC 上找到一点 R，使 PR 与 QR 的和最小”．
四、归纳小结 五、作业：
四、归纳小结、布置作业 小结：
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？ 作业：复习题 13 第 15 题．
反思者一：
反思时间：
A B C P Q 山
河大