1.2.4
万有引力理论的成就
学习目标
核心凝炼 1.了解万有引力定律在天文学上的应用。
2 个应用——测天体质量、发现未知天体 1 个基本思路——万有引力提供向心力 2 个重要关系—— G MmR2 ＝ mgG Mmr2 ＝ m v2r ＝ mω2 r ＝ m 4π2T2 r 2.会用万有引力定律计算天体的质量和密度。
3.掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法。
一、计算天体的质量 [观图助学]
(1)如果已知地球绕太阳公转的周期和轨道半径，能否计算太阳、地球的质量？ (2)如果已知月球绕地球公转的周期和轨道半径，能否计算地球、月球的质量？ 1.地球质量的计算 (1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力。
(2)关系式：
mg ＝ G MmR2 。
(3)结果：
M ＝ gR2G，只要知道 g 、 R 、 G 的值，就可计算出地球的质量。
2.太阳质量的计算 (1)思路：质量为 m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力提供向心力。
(2)关系式：
G Mmr2 ＝ m 4π2T2 r 。
(3)结论：
M ＝ 4π2 r 3GT2 ，只要知道行星绕太阳运动的周期 T 和半径 r 就可以计算出太阳的质量。
(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期 T 和卫星与行星之间的距离 r ，可计算行星的质量 M ，
公式是 M ＝ 4π2 r 3GT2 。
[理解概念] 判断下列说法是否正确。
(1)地球表面的物体，所受重力就是物体所受的万有引力。(×) (2)绕行星匀速转动的卫星，万有引力提供向心力。(√) (3)利用地球绕太阳转动，可求地球的质量。(×) (4)利用月球绕地球转动，可求地球的质量。(√) 二、发现未知天体 [观图助学]
太阳系的行星中，海王星、冥王星距离太阳很远，是如何被发现的？ 1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846 年 9 月 23 日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2.其他天体的发现：近 100 年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
[理解概念] 判断下列说法是否正确。
(1)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。(×) (2)海王星的发现确立了万有引力定律的地位。(√) (3)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。(×)
天体质量和密度的计算 [问题探究] 1.(1)卡文迪许在实验室里利用扭秤实验测出了引力常量 G 的值，他是怎样“称量”地球的质量的呢？
(2)已知地面附近的重力加速度 g ＝9.8 m/s2 ，地球半径R ＝6.4×106
m，引力常量G ＝6.67×10－11
N·m 2 /kg 2 ，试估算地球的质量。
答案 (1)在地球表面，物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力，即 mg ＝ G mMR2 ，解得地球的质量 M ＝ gR2G，只要测出 G 、 g 、 R 来，便可“称量”地球的质量。
(2) M ＝ gR2G＝ 9.8×（6.4×106 ）
26.67×10－11
kg≈ 6.0×1024
kg。
2.如果知道地球绕太阳的公转周期 T 和它与太阳的距离 r ，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？ 答案 由 Gm地 M 太r2 ＝ 4π2T2 m 地 r 知 M 太 ＝ 4π2 r 3GT2 。由密度公式 ρ ＝ 错误! !可知，若要求太阳的密度还需要知道太阳的半径。
[探究归纳]
1.天体质量的计算
重力加速度法
环绕法 情景
已知天体(如地球)的半径 R 和天体(如地球)表面的重力加速度 g 行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动 思路
物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：
mg ＝ G MmR2
行星或卫星受到的万有引力充当向心力：
G Mmr2 ＝ m v2r
或 G Mmr2 ＝ mω2 r
或 G Mmr2 ＝ m 2πT2r
结果
天体(如地球)质量：
M ＝ gR2G 中心天体质量：
M ＝ rv2G 或 M ＝ r3 ω 2G 或 M ＝ 4π2 r 3GT2
2.天体密度的计算 (1)一般思路：若天体半径为 R ，则天体的密度 ρ ＝M43 π R3 ，将质量代入可求得密度。
(2)特殊情况
①卫星绕天体做半径为 r 的圆周运动，若天体的半径为 R ，则天体的密度 ρ ＝M43 π R3 ，将M＝ 4π2 r 3GT2 代入得：
ρ ＝ 3π r3GT2 R 3 。当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径 r 等于天体半径 R ，则 ρ ＝ 3πGT2 。
②已知天体表面的重力加速度为 g ，则 ρ ＝M43 π R3 ＝gR2G43 π R3 ＝3 g4π RG 。
[试题案例]
[例 1] (2018·临沂高一检测)(多选)下列几组数据中能算出地球质量的是(引力常量 G 是已知的)(
) A.已知地球绕太阳运动的周期 T 和地球中心离太阳中心的距离 r
B.已知月球绕地球运动的周期 T 和地球的半径 r
C.已知月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离 r
D.已知月球绕地球运动的周期 T 和轨道半径 r
解析 已知地球绕太阳运动的周期和地球的轨道半径，只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，所以选项 A 错误；已知月球绕地球运动的周期和地球的半径，而不知道月球绕地球运动的轨道半径，不能求出地球的质量，选项 B 错误；已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由 G Mmr2 ＝ mrω2 可以求出地球的质量，选项 C 正确；由G Mmr2 ＝ mr 4π2T2 也可以求出地球的质量，所以选项 D 正确。
答案 CD
求解天体质量和密度时的两种常见错误 (1)根据轨道半径 r 和运行周期 T ，求得 M ＝ 4π2 r 3GT2 是中心天体的质量，而不是做圆周运动的天体的质量。
(2)混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用 R 表示，轨道半径用 r 表示，这样就可以避免如 ρ ＝ 3π r3GT2 R 3 误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径 r 才可以认为等于天体
半径 R 。
[针对训练 1] 我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面。宇航员从距该星球表面高度为 h 处，沿水平方向以初速度 v 抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为 L ，已知该星球的半径为 R ，引力常量为 G 。求：
(1)该星球表面的重力加速度。
(2)该星球的平均密度。
解析 (1)小球在星球表面做平抛运动，有 L ＝ vt ， h ＝ 12 gt2 ，解得g ＝ 2 hv2L2 。
(2)在星球表面满足 GMmR2 ＝ mg
又 M ＝ ρ · 43 π R3 ， 解得 ρ ＝3 hv22π GRL2 。
答案 (1) 2 hv2L2
(2)3 hv22π GRL2
天体运动的分析与计算 [观察探究] 如图 1 所示，太阳系的行星在围绕太阳运动。
图 1 (1)地球、火星等行星绕太阳的运动遵守什么规律？ (2)如何比较地球、火星等行星绕太阳的运动的线速度、角速度、周期及向心加速度等各量的大小关系？ 答案 (1)地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提供向心力。
(2)由 G Mmr2 ＝ ma n ＝ m v2r ＝ mω2 r ＝ m 4π2T2 r 表达式可知线速度、角速度、周期及向心加速度等各量都与轨道半径有关系。
[探究归纳]
1.基本思路 一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，即 F 向 ＝ F 万 。
2.常用关系 (1) G Mmr2 ＝ m v2r ＝ mrω2 ＝ mr 4π2T2 ＝ mωv ＝ ma n ，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力。
(2) mg ＝ G MmR2 ，在天体表面上物体的重力等于它受到的引力，可得 gR2 ＝ GM ，该公式称为黄金代换。
3.四个重要结论 项目
推导式
关系式
结论 v 与 r 的关系
G Mmr2 ＝ m v2r
v ＝GMr r 越大， v 越小 ω 与 r 的关系
G Mmr2 ＝ mrω2
ω ＝GMr3
r 越大， ω 越小 T 与 r 的关系
G Mmr2 ＝ mr ( 2πT)2
T ＝2πr3GM
r 越大， T 越大 a 与 r 的关系
G Mmr2 ＝ ma a ＝ GMr2
r 越大， a 越小 速记口诀：“高轨低速周期长，低轨高速周期短” [试题案例] [例 2] (多选)如图 2 所示， a 、 b 、 c 是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星， a 和 b质量相等，且小于 c 的质量，则(
)
图 2 A. b 所需向心力最小 B. b 、 c 的周期相同且大于 a 的周期
C. b 、 c 的向心加速度大小相等，且大于 a 的向心加速度 D. b 、 c 的线速度大小相等，且小于 a 的线速度 解析 因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供，而 b 所受的引力最小，故 A 正确；由 GMmr2 ＝ ma n 得， a n ＝ GMr2 ，即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以 b 、 c 的向心加速度大小相等且小于 a 的向心加速度，C 错误；由 GMmr2 ＝ 4π2 mrT2 得， T ＝2πr3GM ，即卫星运动的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以 b 、 c 的周期相等且大于 a 的周期，B正确；由 G Mmr2 ＝ m v2r 得， v ＝GMr，即卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以 b 、c 的线速度大小相等且小于 a 的线速度，D 正确。
答案 ABD
解答天体运动问题的技巧 (1)建立模型 不论是自然天体(如地球、月球等)还是人造天体(如卫星、飞船等)，只要它们是在绕某一中心天体做圆周运动，就可以将其简化为质点的匀速圆周运动模型来处理问题。
(2)列方程求解 根据中心天体对环绕星体的万有引力提供向心力，列出合适的向心力表达式进行求解。
F 向 ＝ F 万 ＝ ma ＝ mg ＝ G Mmr2 ＝ m v2r ＝ mrω2 ＝ m 4π2T2 r 。
[针对训练 2] (2018·洛阳高一检测) (多选)2003 年 8 月 29 日，火星、地球和太阳处于三点一线，上演“火星冲日”的天象奇观。这是 6 万年来火星距地球最近的一次，与地球之间的距离只有 5 576 万公里，为人类研究火星提供了最佳时机。如图 3 所示为美国宇航局最新公布的“火星冲日”的虚拟图，则有(
)
图 3 A.2003 年 8 月 29 日，火星的线速度大于地球的线速度 B.2003 年 8 月 29 日，火星的线速度小于地球的线速度 C.2004 年 8 月 29 日，火星又回到了该位置
D.2004 年 8 月 29 日，火星还没有回到该位置 解析 火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动，由 G MmR2 ＝ m v2R 可得：
v ＝GMR，所以轨道半径较大的火星线速度小，A 错误，B 正确；火星轨道半径大，线速度小，火星运动的周期较大，所以一年后地球回到该位置，而火星则还没有回到该位置，C 错误，D 正确。
答案 BD
双星模型问题 1.双星模型：两个离得比较近的天体，在彼此间的引力作用下绕两者连线上的一点做圆周运动，这样的两颗星组成的系统称为双星。
图 4 2.双星模型问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即 G MmL2 ＝m v2r ＝ mrω2 ＝ mr 4π2T2 ＝ mωv ＝ ma n 。
3.双星模型的特点 (1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 Gm1 m 2L2 ＝ m 1 ω21 r 1 ， Gm1 m 2L2 ＝ m 2 ω22 r 2 。
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即 T 1 ＝ T 2 ， ω 1 ＝ ω 2 。
(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：
r 1 ＋ r 2 ＝ L 。
(4)两颗星到圆心的距离 r 1 、 r 2 与星体质量成反比，即 m1m 2 ＝r 2r 1 。
(5)双星的运动周期 T ＝2π L3G （ m 1 ＋ m 2 ）
。
(6)双星的总质量公式 m 1 ＋ m 2 ＝ 4π2 L 3T2 G 。
【针对练习】
(2018·蚌埠高一检测)(多选)2015 年 4 月，科学家通过欧航局天文望远镜在一个河外星系中，发现了一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图 5 所示。这也是天文学家首次在正常星系中发现超大质量双黑洞。这对验证宇宙学与星系演化模型、广义相对论在极端条件下的适应性等都具有十分重要的意义。我国今年底也将发射全球功能最强的
暗物质探测卫星。若图中双黑洞的质量分别为 M 1 和 M 2 ，双黑洞间距离为 L ，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。根据所学知识，下列选项正确的是(
)
图 5 A.双黑洞的轨道半径之比 r 1 ∶ r 2 ＝ M 2 ∶ M 1
B.双黑洞的线速度之比 v 1 ∶ v 2 ＝ M 1 ∶ M 2
C.双黑洞的向心加速度之比 a 1 ∶ a 2 ＝ M 1 ∶ M 2
D.它们的运动周期为 T ＝2πL3G （ M 1 ＋ M 2 ）
解析 双黑洞做圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，向心力大小相等，由 G M1 M 2L2 ＝M 1 r 1 ω2 ＝ M2 r 2 ω2 ，得双黑洞的轨道半径之比r 1 ∶ r 2 ＝ M 2 ∶ M 1 ，选项 A 正确；由 v ＝ ωr 得双黑洞的线速度之比 v 1 ∶ v 2 ＝ r 1 ∶ r 2 ＝ M 2 ∶ M 1 ，选项 B 错误；由 a ＝ ω2 r得双黑洞的向心加速度之比为 a 1 ∶ a 2 ＝ r 1 ∶ r 2 ＝ M 2 ∶ M 1 ，选项 C 错误；由 G M1 M 2L2 ＝ M 1 r 1 ( 2πT)2 、 G M 1 M 2L2 ＝ M 2 r 2 ( 2πT)2 和r 1 ＋ r 2＝ L 得 T ＝2πL3G （ M 1 ＋ M 2 ）
，选项 D 正确。
答案 AD
1.(天体质量的计算)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为 v 。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为 m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为 N 。已知引力常量为 G ，则这颗行星的质量为(
) A. mv2GN
B. mv4GN
C. Nv2Gm
D. Nv4Gm
解析 由物体静止时的平衡条件 N ＝ mg 得 g ＝ Nm ，根据G MmR2 ＝ mg 和 G MmR2 ＝ m v2R 得M ＝ mv4GN ，故选项 B 正确。
答案 B 2.(发现未知天体)下列说法正确的是(
) A.海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的 B.天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C.海王星是人们经过长期的太空观测而发现的 D.天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星 解析 由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星。由此可知，A、B、C 错误，D 正确。
答案 D 3.(天体运动的分析)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么(
) A.地球公转的周期大于火星公转的周期 B.地球公转的线速度小于火星公转的线速度 C.地球公转的加速度小于火星公转的加速度 D.地球公转的角速度大于火星公转的角速度 解析 根据 G Mmr2 ＝ m ( 2πT)2 r ＝ m v2r ＝ man ＝ mω2 r得， 公转周期 T ＝2πr3GM ， 故地球公转的周期较小，选项 A 错误； 公转线速度 v ＝GMr， 故地球公转的线速度较大，选项 B 错误； 公转加速度 a n ＝ GMr2 ， 故地球公转的加速度较大，选项 C 错误； 公转角速度 ω ＝GMr3 ， 故地球公转的角速度较大，选项 D 正确。
答案 D 4.(双星模型问题)(多选)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点 O 做匀速圆周运动。由此可知，冥王星绕 O 点运动的(
) A.轨道半径约为卡戎的 7 倍
B.向心加速度大小约为卡戎的 17
C.线速度大小约为卡戎的 17
D.动能大小约为卡戎的 7 倍 解析 冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，所以冥王星和卡戎的周期是相等的，角速度也是相等的。它们之间的万有引力提供各自的向心力，得 mω2 r ＝ Mω 2 R ，质量比约为 7∶1，所以冥王星绕 O 点运动的轨道半径约为卡戎的 17 ，故 A 错误；它们之间的万有引力大小相等，质量比为 7∶1，故向心加速度比为 1∶7，故 B 正确；根据线速度 v ＝ ωr 得，冥王星线速度大小约为卡戎的 17 ，故 C 正确；冥王星的质量是卡戎的 7 倍，速度大小是卡戎的 17 ，故由E k ＝ 12 mv2 可知其动能是卡戎的 17 ，故 D 错误。
答案 BC
合格性检测 1.科学家们推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”。由以上信息我们可能推知(
) A.这颗行星的公转周期与地球相等 B.这颗行星的自转周期与地球相等 C.这颗行星质量等于地球的质量 D.这颗行星的密度等于地球的密度 解析 由题意知，该行星的公转周期应与地球的公转周期相等，这样，从地球上看，它才能永远在太阳的背面。
答案 A 2.(2018·大连高一检测)地球表面的平均重力加速度为 g ，地球半径为 R ，万有引力常量为G ，用上述物理量估算出来的地球平均密度是(
) A.3 g4π RG
B.3 g4π R2 G
C.gRG
D.gR2 G
解析 地球表面有 G MmR2 ＝ mg ，得 M ＝ gR2G ①，又由
ρ ＝ MV ＝3 M4π R3
②，由①②得出 ρ ＝3 g4π RG 。
答案 A 3.(多选)如图 1 所示，极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道)。若已知一个极地卫星从北纬 30°的正上方，按图示方向第一次运行至南纬 60°正上方时所用时间为 t ，地球半径为 R (地球可看做球体)，地球表面的重力加速度为 g ，引力常量为 G 。由以上条件可以求出(
)
图 1 A.卫星运行的周期
B.卫星距地面的高度 C.卫星的质量
D.地球的质量 解析 根据 t 时间内转过的圆心角可求出周期 T ；由 GmM（ R ＋ h ）2 ＝ m 4π2T2 ( R ＋ h )，可求出卫星距地面的高度 h ；由 GM ＝ gR2 可求出地球质量M ，故 A、B、D 正确。
答案 ABD 4.(2018·德州高一检测)人造卫星绕地球运动只受地球的引力，做匀速圆周运动，其轨道半径为 r ，线速度为 v ，周期为 T 。为使其周期变为 8 T ，可采用的方法有(
) A.保持轨道半径不变，使线速度减小为 v8
B.逐渐减小卫星质量，使轨道半径逐渐增大为 4 r
C.逐渐增大卫星质量，使轨道半径逐渐增大为 8 r
D.保持线速度不变，将轨道半径增加到 8 r
解析 利用万有引力提供卫星的向心力可以得到 v ＝GMr， T ＝2πr3GM ，从中可以看出：线速度、周期与半径具有一一对应关系，与卫星的质量无关，使轨道半径逐渐增大为 4 r ，能使其周期变为 8 T ，速率同时减小为 v2 ，B 正确，A、C、D 错误。
答案 B 5.(2018·石家庄高一检测)假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为 g 0 ，在赤道的大小为 g ；地球自转的周期为 T ，引力常量为 G 。地球的密度
为(
) A. 3π（ g0 － g ）GT2 g0
B.3π g 0GT2 （ g0 － g ）
C. 3πGT2
D. 3π g0GT2 g
解析 在地球两极处， G MmR2 ＝ mg 0 ；在赤道处， G MmR2 － mg ＝ m 4π2T2 R ，故 R ＝ （ g0 － g ）
T24π2 ，则 ρ ＝M43 π R3 ＝R2 g0G43 π R3 ＝3 g 04π RG ＝3π g 0GT2 （ g0 － g ）
，B 正确。
答案 B 6.(2018·洛阳高一检测)(多选)设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比(
) A.地球与月球间的万有引力将变小 B.地球与月球间的万有引力将变大 C.月球绕地球运动的周期将变长 D.月球绕地球运动的周期将变短 解析 设地、月间的距离为 r ，它们的质量分别为 M 、 m ，则它们之间的引力大小 F ＝ G Mmr2 ，随着矿藏的开发， M 变大， m 变小， M · m 变小，地、月间的万有引力变小，故 A 正确，B 错误；由 G Mmr2 ＝ m 4π2T2 r 得周期 T ＝2πr3GM ，由于M 变大，故月球绕地球运动的周期变小，C错误，D 正确。
答案 AD 7.一物体从某行星表面某高度处自由下落，从物体开始下落计时，得到物体离行星表面高度h 随时间 t 变化的图象如图 2 所示，不计阻力，则根据 h － t 图象可以计算出(
)
图 2 A.行星的质量 B.行星的半径
C.行星表面重力加速度的大小 D.物体受到行星引力的大小 解析 根据图象可得物体下落 25 m，用的总时间为 2.5 s，根据自由落体公式可求得行星表面的重力加速度，C 项正确；根据行星表面的万有引力约等于重力，只能求出行星质量与行星半径平方的比值(在已知引力常量 G 的前提下)，不能求出行星的质量和半径，A 项和 B 项错误；因为物体质量未知，不能确定物体受到行星的引力大小，D 项错误。
答案 C 等级性检测 8.(2018·烟台高一检测) (多选)如图 3 所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为 R 的圆轨道上运行，若三颗星质量均为 M ，万有引力常量为 G ，则(
)
图 3 A.甲星所受合外力为 5 GM24 R2
B.乙星所受合外力为 GM2R2
C.甲星和丙星的线速度相同 D.甲星和丙星的角速度相同 解析 甲星所受合外力为乙、丙对甲星的万有引力的合力：
F 甲 ＝ GM2R2 ＋GM2（2 R ）2 ＝ 5 GM24 R2 ，A 正确；由对称性可知，甲、丙对乙星的万有引力等大反向，乙星所受合外力为 0，B 错误；由甲、乙、丙位于同一直线上可知，甲星和丙星的角速度相同，由 v ＝ ωR 可知，甲星和丙星的线速度大小相同，但方向相反，故 C 错误，D 正确。
答案 AD 9.(2018·潍坊高一检测)我国计划于 2018 年发射嫦娥四号探月着陆器，可能在 2030 年左右实现载人登月！
(1)若已知地球半径为 R ，地球表面的重力加速度为 g ，月球绕地球运动的周期为 T ，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径； (2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度 v 0 竖直向上抛出一个小球，经
过时间 t ，小球落回抛出点。已知月球半径为 r ，万有引力常量为 G ，试求出月球的质量 M 月 。
解析 (1)根据万有引力定律和向心力公式 G 错误! !＝ M 月 R 月 ( 错误! !)2 ① mg ＝ G M地 mR2 ② 联立①②得 R 月 ＝3gR2 T 24π2 。
(2)设月球表面的重力加速度为 g 月 ，根据题意：
v 0 ＝ g月 t2③ mg 月 ＝ G M月 mr2 ④ 联立③④得 M 月 ＝ 2 v0 r2Gt。
答案 (1)3gR2 T 24π2
(2) 2 v0 r2Gt